Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（m＜0）與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），該拋物線的對(duì)稱軸與直線相交于點(diǎn)E，與x軸相交于點(diǎn)D，點(diǎn)P在直線上（不與原點(diǎn)重合），連接PD，過點(diǎn)P作PF⊥PD交y軸于點(diǎn)F，連接DF．

（1）如圖①所示，若拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，求拋物線的解析式；

（2）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）如圖②所示，小紅在探究點(diǎn)P的位置發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，∠PDF的大小為定值，進(jìn)而猜想：對(duì)于直線上任意一點(diǎn)P（不與原點(diǎn)重合），∠PDF的大小為定值．請(qǐng)你判斷該猜想是否正確，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）A（﹣5，0）、B（1，0）；（3）∠PDF=60°．

【解析】

試題分析：（1）先提取公式因式將原式變形為，然后令y=0可求得函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，從而可求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，然后依據(jù)拋物線的對(duì)稱性可得到拋物線的對(duì)稱軸為x=﹣2，故此可知當(dāng)x=﹣2時(shí)，y=，于是可求得m的值；

（2）由（1）的可知點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；

（3）先由一次函數(shù)的解析式得到∠PBF的度數(shù)，然后再由PD⊥PF，F(xiàn)O⊥OD，證明點(diǎn)O、D、P、F共圓，最后依據(jù)圓周角定理可證明∠PDF=60°．

試題解析：（1）∵，∴=m（x+5）（x﹣1）．令y=0得：m（x+5）（x﹣1）=0，∵m≠0，∴x=﹣5或x=1，∴A（﹣5，0）、B（1，0），∴拋物線的對(duì)稱軸為x=﹣2．∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為為，∴﹣9m=，∴m=，∴拋物線的解析式為；

（2）由（1）可知：A（﹣5，0）、B（1，0）；

（3）∠PDF=60°．理由如下：

如圖所示，∵OP的解析式為，∴∠AOP=30°，∴∠PBF=60°

∵PD⊥PF，F(xiàn)O⊥OD，∴∠DPF=∠FOD=90°，∴∠DPF+∠FOD=180°，∴點(diǎn)O、D、P、F共圓，∴∠PDF=∠PBF，∴∠PDF=60°．