【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線(m<0)與x軸交于點(diǎn)A、B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),該拋物線的對(duì)稱軸與直線相交于點(diǎn)E,與x軸相交于點(diǎn)D,點(diǎn)P在直線上(不與原點(diǎn)重合),連接PD,過點(diǎn)P作PF⊥PD交y軸于點(diǎn)F,連接DF

(1)如圖①所示,若拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,求拋物線的解析式;

(2)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);

(3)如圖②所示,小紅在探究點(diǎn)P的位置發(fā)現(xiàn):當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí),∠PDF的大小為定值,進(jìn)而猜想:對(duì)于直線上任意一點(diǎn)P(不與原點(diǎn)重合),∠PDF的大小為定值.請(qǐng)你判斷該猜想是否正確,并說明理由

【答案】(1);(2)A(﹣5,0)、B(1,0);(3)∠PDF=60°.

【解析】

試題分析:(1)先提取公式因式將原式變形為,然后令y=0可求得函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo),從而可求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo),然后依據(jù)拋物線的對(duì)稱性可得到拋物線的對(duì)稱軸為x=﹣2,故此可知當(dāng)x=﹣2時(shí),y=,于是可求得m的值;

(2)由(1)的可知點(diǎn)A、B的坐標(biāo);

(3)先由一次函數(shù)的解析式得到∠PBF的度數(shù),然后再由PD⊥PF,F(xiàn)O⊥OD,證明點(diǎn)O、D、P、F共圓,最后依據(jù)圓周角定理可證明∠PDF=60°.

試題解析:(1)∵,∴=m(x+5)(x﹣1).令y=0得:m(x+5)(x﹣1)=0,∵m≠0,∴x=﹣5或x=1,A(﹣5,0)、B(1,0),拋物線的對(duì)稱軸為x=﹣2.∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為為,∴﹣9m=,m=,拋物線的解析式為

(2)由(1)可知:A(﹣5,0)、B(1,0);

(3)∠PDF=60°.理由如下:

如圖所示∵OP的解析式為,∴∠AOP=30°,∠PBF=60°

∵PD⊥PF,F(xiàn)O⊥OD,∴∠DPF=∠FOD=90°,∠DPF+∠FOD=180°,點(diǎn)O、D、P、F共圓,∠PDF=∠PBF,∠PDF=60°.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)求此拋物線的解析式;

(2)如圖1,將△OMN沿x軸向右平移t個(gè)單位(0≤t≤5)到△O′M′N′的位置,MN′、M′O′與直線AC分別交于點(diǎn)E、F

①當(dāng)點(diǎn)F為M′O′的中點(diǎn)時(shí),求t的值;

②如圖2,若直線M′N′與拋物線相交于點(diǎn)G,過點(diǎn)G作GH∥M′O′交AC于點(diǎn)H,試確定線段EH是否存在最大值?若存在,求出它的最大值及此時(shí)t的值;若不存在,請(qǐng)說明理由

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【題目】如圖,拋物線與直線交于A、B兩點(diǎn),其中點(diǎn)A在y軸上,點(diǎn)B坐標(biāo)為(﹣4,﹣5),點(diǎn)P為y軸左側(cè)的拋物線上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)C,交AB于點(diǎn)D

(1)求拋物線的解析式;

(2)以O(shè),A,P,D為頂點(diǎn)的平行四邊形是否存在?如存在,求點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說明理由

(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到直線AB下方某一處時(shí),過點(diǎn)P作PM⊥AB,垂足為M,連接PA使△PAM為等腰直角三角形,請(qǐng)直接寫出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)

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