Question

【題目】如圖，拋物線與直線交于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)為（﹣4，﹣5），點(diǎn)P為y軸左側(cè)的拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)C，交AB于點(diǎn)D．

（1）求拋物線的解析式；

（2）以O(shè)，A，P，D為頂點(diǎn)的平行四邊形是否存在？如存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到直線AB下方某一處時，過點(diǎn)P作PM⊥AB，垂足為M，連接PA使△PAM為等腰直角三角形，請直接寫出此時點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）P（，），（﹣1，），（﹣3，）；（3）P（，）．

【解析】

試題分析：（1）先確定出點(diǎn)A坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求拋物線解析式；

（2）先用m表示出PD，當(dāng)PD=OA=3，故存在以O(shè)，A，P，D為頂點(diǎn)的平行四邊形，得到，分兩種情況進(jìn)行討論計算即可；

（3）由△PAM為等腰直角三角形，得到∠BAP=45°，從而求出直線AP的解析式，最后求出直線AP和拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)即可．

試題解析：（1）∵直線交于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在y軸上，∴A（0，﹣3），∵B（﹣4，﹣5），∴，∴，∴拋物線解析式為；

（2）存在，設(shè)P（m，），（m＜0），∴D（m，），∴PD=．

∵PD∥AO，∴當(dāng)PD=OA=3，故存在以O(shè)，A，P，D為頂點(diǎn)的平行四邊形，∴；

①當(dāng)時，∴=，=（舍），∴=，∴P（，）；

②當(dāng)時，∴=﹣1，=﹣3．

Ⅰ、m1=﹣1，∴=，∴P（﹣1，）；

Ⅱ、m2=﹣3，∴=，∴P（﹣3，）；

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，），（﹣1，），（﹣3，）；

（3）如圖，∵△PAM為等腰直角三角形，∴∠BAP=45°，∵直線AP可以看做是直線AB繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)45°所得，設(shè)直線AP解析式為y=kx﹣3，∵直線AB解析式為，∴k==3，∴直線AP解析式為y=3x﹣3，聯(lián)立：，∴=0（舍），=；

當(dāng)x=時，y=，∴P（，）．