【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中有Rt△ABC,∠BAC=90°,AB=AC,A(﹣3,0),B(0,1),C(m,n).

(1)請直接寫出C點(diǎn)坐標(biāo).
(2)將△ABC沿x軸的正方向平移t個單位,B′、C′兩點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)、正好落在反比例函數(shù)y= 在第一象限內(nèi)圖象上.請求出t,k的值.
(3)在(2)的條件下,問是否存x軸上的點(diǎn)M和反比例函數(shù)y= 圖象上的點(diǎn)N,使得以B′、C′,M,N為頂點(diǎn)的四邊形構(gòu)成平行四邊形?如果存在,請求出所有滿足條件的點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.

【答案】
(1)

解:如圖1,過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D,則∠ADC=∠AOB=90°,

∴∠DAC+∠ACD=90°,

∵Rt△ABC,∠A=90°,

∴∠DAC+∠BAO=90°,

∴∠BAO=∠ACD,

在△ADC和△BOA中,

,

∴△ADC≌△BOA(AAS),

∴AD=OB=1,CD=OA=3,

∴OD=OA+AD=4,

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為:(﹣4,3);


(2)

解:設(shè)向右平移了t個單位長度,則點(diǎn)B′的坐標(biāo)為(t,1)、C′的坐標(biāo)為(t﹣4,3),

∵B′、C′正好落在某反比例函數(shù)圖象上,

∴t=3(t﹣4),

解得:t=6,

∴B′(6,1),C′(2,3),

∴k=6,

∴反比例函數(shù)的解析式為:y=


(3)

解:存在,如圖2,

當(dāng)MN為平行四邊形MC′NB′的對角線時,

由平行四邊形的對角線互相平分,可知B′C′,MN的中點(diǎn)為同一個點(diǎn),

= ,

∴yN=4代入y= 得xN=1.5,

∴N(1.5,4);

= ,

∴xM=6.5,

∴M(6.5,0);

如圖3,

當(dāng)MC′為平行四邊形MC′NB′的對角線時,同理可得M(7,0),N(3,2);

如圖4,

當(dāng)MB′為平行四邊形MC′NB′的對角線時,同理可得M(﹣7,0),N(﹣3,2);

綜上所述:存在M(6.5,0),N(1. 5,4)或M(7,0),N(3,2)或M(﹣7,0),N(﹣3,2),使得以B′、C′,M,N為頂點(diǎn)的四邊形構(gòu)成平行四邊形.


【解析】(1)由在平面直角坐標(biāo)系中有Rt△ABC,∠A=90°,AB=AC,可證得△ADC≌△BOA,繼而求得C點(diǎn)坐標(biāo);(2)首先設(shè)向右平移了t個單位長度,則點(diǎn)B′的坐標(biāo)為(t,1)、C′的坐標(biāo)為(t﹣4,3),由B′、C′正好落在某反比例函數(shù)圖象上,即可得t=3(t﹣4),繼而求得m的值,則可求得各點(diǎn)的坐標(biāo),于是得到結(jié)論;(3)如圖2,當(dāng)MN為平行四邊形MC′NB′的對角線時,如圖3,當(dāng)MC′為平行四邊形MC′NB′的對角線時,如圖4,當(dāng)MB′為平行四邊形MC′NB′的對角線時,根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得到結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解平行四邊形的判定(兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形:兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形;一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形;兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形;對角線互相平分的四邊形是平行四邊形).

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(1)求m的值.

(2)當(dāng)a=2時,求點(diǎn)B的坐標(biāo).

(3)如圖2,以OB為對角線作菱形OPBQ,頂點(diǎn)P在直線l上,頂點(diǎn)Qx軸上.

①若PB=2AP,求a的值.

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