Question

【題目】菱形的邊長(zhǎng)為，，、分別是、的中點(diǎn)，、分別在、上，且．

求證：四邊形是平行四邊形；

當(dāng)四邊形是菱形時(shí)，求的長(zhǎng)；

當(dāng)四邊形是矩形時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)到點(diǎn)的距離．

Answer 1

【答案】(1)詳見(jiàn)解析；（2）1；（3）2.

【解析】

（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合已知條件易證△AEF≌△CGH，由全等三角形的性質(zhì)可得EF=GH，繼而求得BF=DH，BG=DE，同理可證△BGF≌△DEH，即可得GF=EH，根據(jù)兩組對(duì)邊相等的四邊形為平行四邊形即可得四邊形EFGH是平行四邊形；（2）如圖，若為菱形，

只需要過(guò)且垂直，即，再求得及，根據(jù)30°角直角三角形的性質(zhì)即可求得的長(zhǎng)；（3）若是矩形只需要對(duì)角線相等，即，

只需與是所在邊中點(diǎn)即可，所以；即點(diǎn)到點(diǎn)的距離為．

證明：∵四邊形是菱形，

∴，，，

∵，分別是，的中點(diǎn)，

∴，

在與中，，

∴，

∴，

∵，

∴，，

同理證得，

∴，

∴四邊形是平行四邊形；

（2）如圖，若為菱形，

只需要過(guò)且垂直，即，

∵是等邊三角形，

∴，

∴，

∵，則，

∴

如圖，若是矩形

只需要對(duì)角線相等，即，

只需與是所在邊中點(diǎn)即可，

∴；

即點(diǎn)到點(diǎn)的距離為．