Question

8．如圖，以點P（2，0）為圓心，$\sqrt{3}$為半徑作圓，點M（a，b） 是⊙P上的一點，設$\frac{a}$=t，則t的取值范圍是-$\sqrt{3}$≤t≤$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 當$\frac{a}$有最大值時，得出tan∠MOP有最大值，推出當OM與圓相切時，tan∠MOP有最大值，根據解直角三角形得出tan∠MOP=$\frac{MP}{OM}$，由勾股定理求出OM，代入即可得出最大值，進而得出最小值，即可得出答案．

解答 解：如圖所示：
當$\frac{a}$有最大值時，即tan∠MOP有最大值，
也就是當OM與圓相切時，tan∠MOP有最大值，
此時tan∠MOP=$\frac{MP}{OM}$，
在Rt△OMP中，由勾股定理得：OM=$\sqrt{O{P}^{2}-P{M}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=1，
則tan∠MOP=$\frac{a}$=$\frac{MP}{OM}$=$\sqrt{3}$，
同理可得：當OM在第四象限，則tan∠MOP=$\frac{a}$=-$\sqrt{3}$，
故t的取值范圍是：-$\sqrt{3}$≤t≤$\sqrt{3}$．
故答案為：-$\sqrt{3}$≤t≤$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了解直角三角形、勾股定理、坐標與圖形性質、切線的性質等知識點，關鍵是找出符合條件的M的位置，題目比較典型，但是有一定的難度．