Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，BD為一條對角線，且，，E為AD的中點，連接BE．

（1）求證：四邊形BCDE為菱形；

（2）連接AC，若AC平分，，求AC的長．

Answer 1

【答案】(1)詳見解析(2)

【解析】

(1) 題干中由且可知，一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，則四邊形BCDE是平行四邊形，又知BE是直角三角形斜邊的中線，直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，則得到BE=ED，從而再用一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明即可.

(2)通過 DE∥BC和 AC平分，可得到∠BAC=∠ACB，從而由等角對等邊得到AB=BC=1，則此時直角三角形ABD，有一個執(zhí)教不是斜邊的一半，則可知這個直角邊對應的角是30°，找到30°才是題目的突破口，然后依次得到角度的關系，證明得到三角形ACD是直角三角形，再用勾股定理解得AC的長.

(1)證明：∵DE∥BC且DE=BC（已知）

∴四邊形BCDE是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）

又∵E為直角三角形斜邊AD邊的中點（已知）

∴BE=AD，即BE=DE（直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半）

∴平行四邊形四邊形BCDE是菱形（一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）

(2)

連接AC，如圖可知：

∵DE∥BC（已知）

∴∠DAC=∠ACB（兩直線平行內(nèi)錯角相等）

又∵AC平分（已知）

∴∠BAC=∠DAC（角平分線的定義）

即∠BAC=∠ACB（等量代換）

∴AB=BC=1（等角對等邊）

由(1)可知：AD=2ED=2BC=2

在直角三角形中AB=1，AD=2

∴∠ADB=30°（直角三角形中，若一個直角邊是斜邊 一半，則這個直角邊所對的角是30°）

∴∠BAD=60°（直角三角形兩銳角互余）

即∠CAD=∠BAD=30°（角平分線的定義），∠ADC=2∠ADB=60°（菱形的性質(zhì)）

所以三角形ADC是直角三角形.

則由可知：