【題目】如圖,在四邊形ABCD中,BD為一條對角線,,EAD的中點,連接BE

1)求證:四邊形BCDE為菱形;

2)連接AC,若AC平分,,求AC的長.

【答案】(1)詳見解析(2)

【解析】

(1) 題干中由可知,一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形,則四邊形BCDE是平行四邊形,又知BE是直角三角形斜邊的中線,直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半,則得到BE=ED,從而再用一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明即可.

(2)通過 DEBC AC平分,可得到∠BAC=ACB,從而由等角對等邊得到AB=BC=1,則此時直角三角形ABD,有一個執(zhí)教不是斜邊的一半,則可知這個直角邊對應的角是30°,找到30°才是題目的突破口,然后依次得到角度的關系,證明得到三角形ACD是直角三角形,再用勾股定理解得AC的長.

(1)證明:∵DEBCDE=BC(已知)

∴四邊形BCDE是平行四邊形(一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形)

又∵E為直角三角形斜邊AD邊的中點(已知)

BE=AD,即BE=DE(直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半)

∴平行四邊形四邊形BCDE是菱形(一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形)

(2)

連接AC,如圖可知:

DEBC(已知)

∴∠DAC=ACB(兩直線平行內(nèi)錯角相等)

又∵AC平分(已知)

∴∠BAC=DAC(角平分線的定義)

即∠BAC=ACB(等量代換)

AB=BC=1(等角對等邊)

(1)可知:AD=2ED=2BC=2

在直角三角形中AB=1,AD=2

∴∠ADB=30°(直角三角形中,若一個直角邊是斜邊 一半,則這個直角邊所對的角是30°)

∴∠BAD=60°(直角三角形兩銳角互余)

即∠CAD=BAD=30°(角平分線的定義),∠ADC=2ADB=60°(菱形的性質(zhì))

所以三角形ADC是直角三角形.

則由可知:

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