【題目】如圖,對稱軸為直線x1的拋物線經(jīng)過A(﹣1,0)、C0,3)兩點,與x軸的另一個交點為B,點Dy軸上,且OB3OD

1)求該拋物線的表達式;

2)設(shè)該拋物線上的一個動點P的橫坐標(biāo)為t

①當(dāng)0t3時,求四邊形CDBP的面積St的函數(shù)關(guān)系式,并求出S的最大值;

②點Q在直線BC上,若以CD為邊,點C、D、Q、P為頂點的四邊形是平行四邊形,請求出所有符合條件的點P的坐標(biāo).

【答案】(1)y=﹣x2+2x+32)①t時,S的最大值為P14)或(2,3)或(,)或(

【解析】

(1)設(shè)所求拋物線的表達式為 ya(x+1)(x3),把點C(0,3)代入表達式,即可求解;

(2)①設(shè)P(t,﹣t2+2t+3),則E(t,﹣t+3)S四邊形CDBPSBCD+SBPCCDOB+PEOB,即可求解;

分點P在點Q上方、下方兩種情況討論即可求解.

(1)∵拋物線的對稱軸為x1,A(10)

∴B(3,0)

設(shè)所求拋物線的表達式為 ya(x+1)(x3),

把點C(03)代入,得3a(0+1)(03),

解得a=﹣1,

所求拋物線的表達式為y=﹣(x+1)(x3),即y=﹣x2+2x+3;

(2)①連結(jié)BC

∵B(30),C(0,3),

直線BC的表達式為y=﹣x+3

∵OB3OD,OBOC3,

∴OD1,CD2

過點PPE∥y軸,交BC于點E(如圖1)

設(shè)P(t,﹣t2+2t+3),則E(t,﹣t+3)

∴PE=﹣t2+2t+3(t+3)=﹣t2+3t

S四邊形CDBPSBCD+SBPCCDOB+PEOB,

S×2×3+(t2+3t)×3=﹣(t)2+,

∵a=﹣0,且0t3,

當(dāng)t時,S的最大值為;

CD為邊,點C、D、Q、P為頂點的四邊形是平行四邊形,

PQ∥CD,且PQCD2

P在拋物線上,點Q在直線BC上,

P(t,﹣t2+2t+3),點Q(t,﹣t+3)

分兩種情況討論:

(Ⅰ) 如圖2,當(dāng)點P在點Q上方時,

∴(t2+2t+3)(t+3)2.即t23t+20.解得 t11,t22

∴P1(14),P2(2,3),

(Ⅱ) 如圖3,當(dāng)點P在點Q下方時,

∴(t+3)(t2+2t+3)2.即t23t20

解得 t3t4

∴P3(,),P4(,),

綜上所述,所有符合條件的點P的坐標(biāo)分別為:P(1,4)(23)(,)(,)

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