Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，AC為弦，且平分∠BAD，AD⊥CD，垂足為D．

(1) 求證：CD是⊙O的切線；

(2) 若⊙O的直徑為4，AD=3，試求∠BAC的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）30°.

【解析】

(1)連接OC,證先利用角平分線的定義和等腰三角形的性質(zhì)證明∠OCA=∠DAC，從而OC∥AD，由平行線的性質(zhì)可得OC⊥CD，從而得出CD是⊙O切線；

(2)連接BC,證明△ACB∽△ADC,求出AC的長度,再求出∠BAC的余弦,得出∠BAC的度數(shù).

解：(1) 連結(jié)OC.

∵平分，∴∠BAC=∠DAC.

又OA=OC, ∴∠BAC=∠OCA, ∴∠OCA=∠DAC, ∴OC∥AD.

∵AD⊥CD, ∴OC⊥CD, ∴CD是⊙O的切線.

(2) 連結(jié)BC. ∵AB是⊙O的直徑, ∴∠ACB=90°, ∴∠ACB=∠ADC=90°.

又∠BAC=∠DAC, ∴△ACB∽△ADC. ∴, , , ∴AC=.

在Rt△ACB中, cos∠BAC=, ∴∠BAC=30°.