Question

【題目】如圖，△ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成長方形零件PQMN，使長方形PQMN的邊QM在BC上，其余兩個頂點P，N分別在AB，AC上，求這個長方形零件PQMN面積S的最大值．

Answer 1

【答案】解：設(shè)長方形零件PQMN的邊PN=a，PQ=x，則AE=80﹣x． ∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC．
∴ = ．
因此， = ．
解得a=120﹣ x．
所以長方形PQMN的面積S=xa=x（120﹣ x）=﹣ x2+120x．
當(dāng)x=﹣ =40時，a=60．
S最大值=40×60=2400（mm2）．
所以這個長方形零件PQMN面積S的最大值是2400mm2
【解析】設(shè)長方形零件PQMN的邊PN=a，PQ=x，則AE=80﹣x，利用△APN∽△ABC得相似比，用相似比可得出用含x的式子表示a，故S=xa，從而得出二次函數(shù)解析式，根據(jù)解析式及自變量取值范圍求S的最大值．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解相似三角形的應(yīng)用的相關(guān)知識，掌握測高：測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達兩點間的舉例，常構(gòu)造相似三角形求解．