Question

【題目】如圖,矩形OABC的頂點(diǎn)A. C分別在x、y軸的正半軸上,點(diǎn)D為BC邊上的點(diǎn),反比例函數(shù)y= (k≠0)在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D(m,2)和AB邊上的點(diǎn)E(3,).

(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式和m的值；

(2)將矩形OABC的進(jìn)行折疊，使點(diǎn)O于點(diǎn)D重合，折痕分別與x軸、y軸正半軸交于點(diǎn)F，G，求折痕FG所在直線的函數(shù)關(guān)系式。

Answer 1

【答案】（1）y=，m=1（2）y= x+

【解析】

（1）由點(diǎn)E的坐標(biāo)利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出k值，再由點(diǎn)B在反比例函數(shù)圖象上，代入即可求出m值；

（2）設(shè)OG=x，利用勾股定理即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解方程即可求出x值，從而得出點(diǎn)G的坐標(biāo)．再過點(diǎn)F作FH⊥CB于點(diǎn)H，由此可得出△GCD∽△DHF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出線段DF的長度，從而得出點(diǎn)F的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)G、F的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出結(jié)論．

(1)∵反比例函數(shù)y=kx(k≠0)在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點(diǎn)E(3, )，

∴k=3×=2，

∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=.

又∵點(diǎn)D(m,2)在反比例函數(shù)y=的圖象上，

∴2m=2，解得：m=1.

(2)設(shè)OG=x，則CG=OCOG=2x，

∵點(diǎn)D(1,2)，

∴CD=1.

在Rt△CDG中,∠DCG=90°，CG=2x，CD=1，DG=OG=x，

∴CD+CG=DG,即1+(2x)=x，

解得：x= ，

∴點(diǎn)G(0, ).

過點(diǎn)F作FH⊥CB于點(diǎn)H，如圖所示。

由折疊的特性可知：∠GDF=∠GOF=90°，OG=DG，OF=DF.

∵∠CGD+∠CDG=90°,∠CDG+∠HDF=90°，

∴∠CGD=∠HDF，

∵∠DCG=∠FHD=90°，

∴△GCD∽△DHF，

∴，

∴DF=2GD=，

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(,0).

設(shè)折痕FG所在直線的函數(shù)關(guān)系式為y=ax+，

∴有 ,解得： .

∴折痕FG所在直線的函數(shù)關(guān)系式為y= x+.