【題目】已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),A,B分別在y軸、x軸正半軸上,Dx軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn),ADDE,∠ADEα,矩形AOBC的面積為32AC2BC

1)如圖1,當(dāng)α90°時(shí),直線CEx軸于點(diǎn)F,求證:FOB中點(diǎn);

2)如圖2,當(dāng)α60°時(shí),若DOB中點(diǎn),求E點(diǎn)坐標(biāo);

3)如圖3,當(dāng)α120°時(shí),QAE的中點(diǎn),求D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中BQ的最小值.

【答案】1)見解析;(2)(2+2,2+2);(34

【解析】

(1)由題意得出BC4AC8,過點(diǎn)EMNACAC于點(diǎn)M、交OB于點(diǎn)N,則四邊形AONM為矩形、四邊形MNBC為矩形,證明△END≌△DOAAAS),得出OADN4,ENOD,設(shè)ODENx,則MEMNEN4x,MCACAMACONACODDN8x44x,證明△CME是等腰直角三角形,得出∠MCE45°,證出△CBF是等腰直角三角形,得出BCBF4,證出OFBF即可;

2)證明△AOD是等腰直角三角形,得出AD4,連接OE,證明△ADE為等邊三角形,得出EAED,證明OE垂直平分AD,由等腰三角形的性質(zhì)得出∠AOE=∠DOE45°,由勾股定理得出OE2+),即可得出答案;

3)連接DQ、OQ,由等腰三角形的性質(zhì)得出DQAE,證明A、OD、Q四點(diǎn)共圓,由等腰三角形的性質(zhì)得出∠DAQ30°,由圓周角定理得出∠QOD30°,得出Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為與x軸的一個(gè)夾角為30°的射線,當(dāng)BQMN時(shí),BQ有最小值,由含30°角的直角三角形的性質(zhì)即可得出答案.

1)證明:∵矩形AOBC的面積為32AC2BC,

S矩形AOBCACBC2BCBC2BC232

BC4,

AC8

過點(diǎn)EMNACAC于點(diǎn)M、交OB于點(diǎn)N,如圖1所示:

則四邊形AONM為矩形、四邊形MNBC為矩形,

OAMNBC4,AM+CMON+BNACOB8,∠END=∠DOA90°

∵∠ADE90°,

∴∠ADO+EDN90°,

∵∠ADO+DAO90°,

∴∠EDN=∠DAO,

在△END和△DOA中,

∴△END≌△DOAAAS),

OADN4,ENOD

設(shè)ODENx

MEMNEN4x,MCACAMACONACODDN8x44x,

MEMC,

∴△CME是等腰直角三角形,

∴∠MCE45°,

∴∠FCB45°

∴△CBF是等腰直角三角形,

BCBF4,

OFOBF844,

OFBF

FOB中點(diǎn);

2)解:∵DOB中點(diǎn),

OB2OA2OD8

OAOD4,

∴△AOD是等腰直角三角形,

AD4,

連接OE,如圖2所示:

ADDE,∠ADE60°

∴△ADE為等邊三角形,

EAED

AODO,

OE垂直平分AD,

∴∠AOE=∠DOE45°

E點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)為都為:×2+)=2+2,

E點(diǎn)坐標(biāo)為(2+2,2+2),

3)解:連接DQ、OQ,如圖3所示:

ADDE,QAE的中點(diǎn),

DQAE

AOOD,

∴∠AOD+AOD180°

A、O、D、Q四點(diǎn)共圓,

∵∠ADE120°,ADDE,

∴∠DAQ=∠DEA30°,

∴∠QOD=∠DAQ30°

Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為與x軸的一個(gè)夾角為30°的射線,

∴當(dāng)BQMN時(shí),BQ有最小值,

BQOB×84

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