【題目】如圖,RtABC中,AB6AC8.動點E,F同時分別從點A,B出發(fā),分別沿著射線AC和射線BC的方向均以每秒1個單位的速度運動,連接EF,以EF為直徑作⊙O交射線BC于點M,連接EM,設(shè)運動的時間為tt0).

1)當(dāng)點E在線段AC上時,用關(guān)于t的代數(shù)式表示CE   ,CM   .(直接寫出結(jié)果)

2)在整個運動過程中,當(dāng)t為何值時,以點E、F、M為頂點的三角形與以點A、B、C為頂點的三角形相似?

【答案】(1)8-t, ;(2) t的值為s或s.

【解析】

1)當(dāng)點E在線段AC上時,0t≤8.根據(jù)題意,可知AE=t,則CE=AC-AE=8-t,利用圓周角定理得∠EMF=90°.則可證得CEM∽△CBA,利用相似比可表示出CM;
2)討論:當(dāng)E點在線段AC上,(0t≤8),先由CEM∽△CBA,利用相似比可表示出,則FM=,①若∠EFM=B時,MFE∽△ABC,利用相似比可求出t=0(舍去);②若∠EFM=ACB時,MEF∽△ABC,利用相似比可求得t=s);分情況進(jìn)行討論即可;

解:(1)如圖1中,當(dāng)點 E 在線段 AC 上時,0t≤8.根據(jù)題意,可知 AEt,則 CEACAE8t

EF 為直徑,

∴∠EMF90°

∵∠ECM=∠BCA,

∴△CEM∽△CBA,

,即,

故答案為:8t,

2)∵△CEM∽△CBA,

,

,

解得

FMBCBFCM10t,

當(dāng)E點在線段 AC 上,(0t≤8),

①如圖1中,若∠EFM=∠B時,MFE∽△ABC,

,

,解得t0(舍去).

②若∠EFM=∠ACB時,MEF∽△ABC,

,解得t(成立).

當(dāng)E點在線段AC的延長線上,8t≤10,如圖2中,

顯然EMCM≤FM,∴△MFE∽△ABC不成立,

只有MFE∽△ACB,當(dāng)點F運動到C點時,

∵∠EFM=∠ACB,∠CME=∠A

∴△MEF∽△ABC,此時t10(成立);

當(dāng)t10時,由題意MEt8),FMBC+CMBF10+8t)﹣t

MFE∽△ABC,此時∠EFM=∠B,則,即8t):34,

解得t(成立),

MEF∽△ABC,此時∠EFM=∠ACB,則,即t8):34,

解得t10(舍棄),

綜上所述,滿足條件的t的值為ss

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