Question

【題目】對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的定點(diǎn)P和圖形F，給出如下定義：若在圖形F上存在一點(diǎn)N，使得點(diǎn)Q，點(diǎn)P關(guān)于直線ON對(duì)稱，則稱點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于圖形F的定向?qū)ΨQ點(diǎn)．

（1）如圖，，，，

①點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)B的定向?qū)ΨQ點(diǎn)的坐標(biāo)是 ；

②在點(diǎn)，，中，______是點(diǎn)P關(guān)于線段AB的定向?qū)ΨQ點(diǎn)．

（2）直線分別與x軸，y軸交于點(diǎn)G，H，⊙M是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓．

①當(dāng)時(shí)，若⊙M上存在點(diǎn)K，使得它關(guān)于線段GH的定向?qū)ΨQ點(diǎn)在線段GH上，求的取值范圍；

②對(duì)于，當(dāng)時(shí)，若線段GH上存在點(diǎn)J，使得它關(guān)于⊙M的定向?qū)ΨQ點(diǎn)在⊙M上，直接寫(xiě)出b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①；②點(diǎn)C，D；（2）① 或；②．

【解析】

（1）①求出點(diǎn)P關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn)G即可．

②求出OP，OC，OD，OE的長(zhǎng)即可判斷．

（2）①求出兩種特殊位置b的值即可．如圖2中，作⊙M關(guān)于y軸的對(duì)稱圖形⊙M′，當(dāng)直線GH與⊙M′在第一象限相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為P，連接PM′．如圖3中，以O為圓心，3為半徑作⊙O，當(dāng)直線GH與⊙O在第四象限點(diǎn)相切于點(diǎn)P時(shí)，連接OP，分別求出OH的值即可解決問(wèn)題．

②如圖4中，設(shè)⊙M交x軸于K，T，則K（﹣1，0），T（5，0）．求出兩種特殊位置b的值即可判斷．

解：（1）①如圖1中，

∵P（0，2），B（1，1），

∴點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)G（2，0），

故答案為：（2，0）．

②∵點(diǎn)C（0，﹣2），D（1，﹣），E（2，﹣1），

∴OP＝2，OD＝2，OC＝2，OE＝，

∴OP＝OD＝OC，

∴點(diǎn)C，D是點(diǎn)P關(guān)于線段AB的定向?qū)ΨQ點(diǎn)．

故答案為：點(diǎn)C，D．

（2）①如圖2中，作⊙M關(guān)于y軸的對(duì)稱圖形⊙M′，當(dāng)直線GH與⊙M′在第一象限相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為P，連接PM′，

當(dāng)b＞0時(shí)，

由題意得：tan∠HGO＝，

∴∠PGM＝30°，

∵PM′＝1，∠MPG＝90°，

∴MG＝2MP＝2，

∴OG＝GM+OM＝4，

∴OH＝OGtan30°＝，

當(dāng)直線經(jīng)過(guò)（-1，0）時(shí)， .

∴

若b＜0時(shí)，

當(dāng)當(dāng)直線經(jīng)過(guò)（1，0）時(shí)， .

如圖3中，以O為圓心，3為半徑作⊙O，當(dāng)直線GH與O在第四象限點(diǎn)相切于點(diǎn)P時(shí)，連接OP，

同法可得OH＝2，∴

觀察圖象可知滿足條件的b的值：﹣2≤b≤．

綜上所述，b的取值范圍是 或.

②如圖4中，設(shè)⊙M交x軸于K，T，則K（﹣1，0），T（5，0）．

以O為圓心，5為半徑作⊙O，當(dāng)直線GH與⊙O在第二象限相切于點(diǎn)J時(shí)，

可得OH＝，

此時(shí)直線GH的解析式為y＝x+，

當(dāng)直線GH經(jīng)過(guò)點(diǎn)K（﹣1，0）時(shí)，0＝﹣+b，

可得b＝，

此時(shí)直線GH的解析式為y＝x+，

觀察圖象可知滿足條件的b的值為：≤b≤．