Question

【題目】已知拋物線L1：y1＝x2＋6x＋5k和拋物線L2：y2＝kx2＋6kx＋5k，其中k≠0．

(1)下列說法你認(rèn)為正確的是(填寫序號) ；

①拋物線L1和L2與y軸交于同一點(diǎn)(0，5k)；

②拋物線L1和L2開口都向上；

③拋物線L1和L2的對稱軸是同一條直線；

④當(dāng)k＜－1時，拋物線L1和L2都與x軸有兩個交點(diǎn)．

(2)拋物線L1和L2相交于點(diǎn)E、F，當(dāng)k的值發(fā)生變化時，請判斷線段EF的長度是否發(fā)生變化，并說明理由；

(3)在(2)中，若拋物線L1的頂點(diǎn)為M，拋物線L2的頂點(diǎn)為N，問是否存在實(shí)數(shù)k，使MN＝2EF？如存在，求出實(shí)數(shù)k；如不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) ①③④　;(2)見解析;(3)見解析.

【解析】

（1）根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)結(jié)合已知條件分析判斷即可；

（2）由y1=y2可得方程：x2+6x+5k= kx2+6kx+5k，解此方程可得，由此可得兩拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（0，5k）和（-6，5k），從而可得EF=0-（-6）=6，即EF的長度不會隨k的變化而變化；

（3）將兩個函數(shù)解析式配方即可求得點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，從而用含k的代數(shù)式表達(dá)出MN的長度，結(jié)合（2）中所得EF=6即可列出關(guān)于k的方程，解此方程即可得到相應(yīng)的結(jié)論.

(1)①∵在拋物線L1：y1＝x2＋6x＋5k和拋物線L2：y2＝kx2＋6kx＋5k中，當(dāng)x=0時，y1=y2=5k，

∴拋物線L1和L2都與y軸相交于點(diǎn)（0，5k），即結(jié)論①正確；

②∵拋物線L1：y1＝x2＋6x＋5k的開口向上，而拋物線L2：y2＝kx2＋6kx＋5k的開口方向不確定，

∴“拋物線L1和L2開口都向上”的說法是錯誤的，即結(jié)論②不成立；

③∵拋物線L1：y1＝x2＋6x＋5k的對稱軸為直線x=-3，拋物線L2：y2＝kx2＋6kx＋5k的對稱軸也為直線x=-3，

∴“拋物線L1和L2的對稱軸是同一條直線”的說法是正確的，即結(jié)論③成立；

④∵在拋物線L1：y1＝x2＋6x＋5k中，△=36-20k，

∴當(dāng)k<-1時，△>0，此時拋物線L1與x軸有兩個不同的交點(diǎn)；

∵在拋物線L2：y2＝kx2＋6kx＋5k中，△=16k2，

∴當(dāng)k<-1時，△>0，此時拋物線L2與x軸有兩個不同的交點(diǎn)；

∴當(dāng)k<-1時，兩條拋物線都和x軸有兩個不同的交點(diǎn)，故結(jié)論④成立；

綜上所述：正確的序號是�、佗邰堋�；

(2) 由y1= y2，可得：x2+6x+5k= kx2+6kx+5k，

解得：x1=0，x2=－6，

∵當(dāng)x=0或x=-6時，y1=y2=5k，

∴兩拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，5k)，(－6，5k)，

∴EF＝0－(－6)=6，

∴當(dāng)k的值發(fā)生變化時，線段EF的長度不會發(fā)生變化；

(3)存在實(shí)數(shù)k，使MN=2EF，理由如下：

∵y1=x2+6x+5k=(x+3)2－9+5k，y2=kx2+6kx+5k=k(x+3)2－4k，

∴拋物線L1的頂點(diǎn)M坐標(biāo)為(－3，－9+5k)，拋物線L2的頂點(diǎn)N坐標(biāo)為(－3，－4k)，

∴MN=，

∵M(jìn)N=2EF，EF=6，

∴，

解得：k1=，k2=．

∴存在實(shí)數(shù)：k1=，k2=使MN=2EF.