Question

8．如圖，在第一象限內(nèi)，一次函數(shù)y=k₁x-2的圖象與反比例函數(shù)y=$\frac{k_2}{x}$的圖象相交于點(diǎn)A（4，a），與y軸、x軸分別相交于B，C兩點(diǎn)，且BC=CA．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)圖象，試求出在第一象限內(nèi)，一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)值的x的取值范圍；
（3）若M（m，n）（0＜m＜4）為反比例函數(shù)y=$\frac{k_2}{x}$圖象上一點(diǎn)，過M點(diǎn)作MN⊥x軸交一次函數(shù)y=k₁x-2的圖象于N點(diǎn)，若以M，N，A為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，求M點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）過點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，通過證明△ACE≌△BCO得出AE=BO，再令一次函數(shù)y=k₁x-2中x=0可得出線段BO的長度，從而得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，由點(diǎn)A的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出反比例函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征找出點(diǎn)B的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)A的坐標(biāo)即可找出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)兩函數(shù)圖象的上下關(guān)系，即可找出在第一象限內(nèi)，一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)值的x的取值范圍；
（3）由點(diǎn)M在反比例函數(shù)圖象上可用m表示出n，再由點(diǎn)A的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，由MN垂直x軸和直線AB的解析式即可得出點(diǎn)N的坐標(biāo)，過點(diǎn)A作AF⊥MN于點(diǎn)F，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得出關(guān)于m的分式方程，解方程即可求出m值，將其代入點(diǎn)M的坐標(biāo)即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）過點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，如圖1所示．
∵AE⊥x軸，BO⊥OC，
∴∠AEC=∠BOC=90°，
在△ACE和△BCO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEC=∠BOC}\\{∠ACE=∠BCO}\\{BC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCO（AAS）．
∴AE=BO．
令一次函數(shù)y=k₁x-2中x=0，則y=-2，
∴BO=AE=2．
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，2），
將點(diǎn)A（4，2）代入到反比例函數(shù)y=$\frac{k_2}{x}$中，
2=$\frac{{k}_{2}}{4}$，解得：k₂=8．
∴反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{8}{x}$．
（2）當(dāng)x=0時(shí)，y=k₁x-2=-2，
∴點(diǎn)B（0，-2）．
∵BC=CA，點(diǎn)A（4，2），
∴點(diǎn)C（2，0）．
觀察函數(shù)圖象可知：在第一象限內(nèi)，當(dāng)2＜x＜4時(shí)，一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象下方，
∴在第一象限內(nèi)，一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)值的x的取值范圍為2＜x＜4．
（3）∵點(diǎn)M（m，n）（0＜m＜4）為反比例函數(shù)y=$\frac{8}{x}$圖象上一點(diǎn)，
∴n=$\frac{8}{m}$．
∵點(diǎn)A（4，2）在一次函數(shù)y=k₁x-2的圖象上，
∴2=4k₁-2，解得：k₁=1，
∴一次函數(shù)解析式為y=x-2．
∵M(jìn)N⊥x軸交一次函數(shù)y=x-2的圖象于N點(diǎn)，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，m-2）．
過點(diǎn)A作AF⊥MN于點(diǎn)F，則F（m，2），
∴AF=4-m，MN=$\frac{8}{m}$-m+2．
∵A（4，2）、B（0，-2），
∴C（0，2），
∴OB=OC=2，
∴∠OBC=45°．
∵以M，N，A為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，
∴∠MAN=90°．
∵∠MNA=∠OBC=45°，
∴△AMN為等腰直角三角形，
∴AF=$\frac{1}{2}$MN，
∴4-m=$\frac{4}{m}$-$\frac{m}{2}$+1，
∴m²-6m+8=（m-2）（m-4）=0，
解得：m₁=2，m₂=4（舍去），
經(jīng)檢驗(yàn)m=2是方程4-m=$\frac{4}{m}$-$\frac{m}{2}$+1的解．
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，4）．

點(diǎn)評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題、全等三角形的判定及性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及垂直的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）觀察圖象得出結(jié)論；（3）找出關(guān)于m的方程．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，利用全等三角形的性質(zhì)找出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵．