【題目】如圖,正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于AB兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)AAC垂直x軸于點(diǎn)C,連結(jié)BC.若ABC的面積為2

1)求k的值;

2x軸上是否存在一點(diǎn)D,使△ABD為直角三角形?若存在,求出點(diǎn)D的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】1k=2;(2D5,0)或(﹣5,0)或(0)或D,0).

【解析】試題分析:(1)首先根據(jù)反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的圖象特征,可知A、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),則O為線(xiàn)段AB的中點(diǎn),故BOC的面積等于AOC的面積,都等于1,然后由反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義,可知AOC的面積等于,從而求出k的值;

2)先將聯(lián)立成方程組,求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo),然后分三種情況討論:當(dāng)ADAB時(shí),求出直線(xiàn)AD的關(guān)系式,令y=0,即可確定D點(diǎn)的坐標(biāo);當(dāng)BDAB時(shí),求出直線(xiàn)BD的關(guān)系式,令y=0,即可確定D點(diǎn)的坐標(biāo);當(dāng)ADBD時(shí),由O為線(xiàn)段AB的中點(diǎn),可得OD=AB=OA,然后利用勾股定理求出OA的值,即可求出D點(diǎn)的坐標(biāo).

試題解析:(1反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的圖象相交于A、B兩點(diǎn),AB兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),OA=OB∴△BOC的面積=AOC的面積=2÷2=1,又A是反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn),且ACx軸于點(diǎn)C,∴△AOC的面積=,k0,k=2.故這個(gè)反比例函數(shù)的解析式為;

2x軸上存在一點(diǎn)D,使ABD為直角三角形.將聯(lián)立成方程組得: ,解得: ,A1,2),B﹣1,﹣2),

當(dāng)AD⊥AB時(shí),如圖1,

設(shè)直線(xiàn)AD的關(guān)系式為,將A1,2)代入上式得: 直線(xiàn)AD的關(guān)系式為,令y=0得:x=5,D5,0);

當(dāng)BD⊥AB時(shí),如圖2,

設(shè)直線(xiàn)BD的關(guān)系式為,將B﹣1,﹣2)代入上式得: ,直線(xiàn)AD的關(guān)系式為,令y=0得:x=﹣5,D﹣5,0);

當(dāng)AD⊥BD時(shí),如圖3,

O為線(xiàn)段AB的中點(diǎn),OD=AB=OA,A1,2),OC=1,AC=2,由勾股定理得:OA==,OD=,D,0),

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性,當(dāng)D為直角頂點(diǎn),且Dx軸負(fù)半軸時(shí),D,0);

x軸上存在一點(diǎn)D,使ABD為直角三角形,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(5,0)或(﹣5,0)或(,0)或D,0).

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B.6.76×105
C.67.6×105
D.0.676×106

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