Question

【題目】如圖，正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AC垂直x軸于點(diǎn)C，連結(jié)BC．若△ABC的面積為2．

（1）求k的值；

（2）x軸上是否存在一點(diǎn)D，使△ABD為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）k=2；（2）D（5，0）或（﹣5，0）或（，0）或D（，0）．

【解析】試題分析：（1）首先根據(jù)反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的圖象特征，可知A、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則O為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，故△BOC的面積等于△AOC的面積，都等于1，然后由反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義，可知△AOC的面積等于，從而求出k的值；

（2）先將與聯(lián)立成方程組，求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后分三種情況討論：①當(dāng)AD⊥AB時(shí)，求出直線(xiàn)AD的關(guān)系式，令y=0，即可確定D點(diǎn)的坐標(biāo)；②當(dāng)BD⊥AB時(shí)，求出直線(xiàn)BD的關(guān)系式，令y=0，即可確定D點(diǎn)的坐標(biāo)；③當(dāng)AD⊥BD時(shí)，由O為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，可得OD=AB=OA，然后利用勾股定理求出OA的值，即可求出D點(diǎn)的坐標(biāo)．

試題解析：（1）∵反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的圖象相交于A、B兩點(diǎn)，∴A、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，∴OA=OB，∴△BOC的面積=△AOC的面積=2÷2=1，又∵A是反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)，且AC⊥x軸于點(diǎn)C，∴△AOC的面積=，∴，∵k＞0，∴k=2．故這個(gè)反比例函數(shù)的解析式為；

（2）x軸上存在一點(diǎn)D，使△ABD為直角三角形．將與聯(lián)立成方程組得： ，解得： ， ，∴A（1，2），B（﹣1，﹣2），

①當(dāng)AD⊥AB時(shí)，如圖1，

設(shè)直線(xiàn)AD的關(guān)系式為，將A（1，2）代入上式得： ，∴直線(xiàn)AD的關(guān)系式為，令y=0得：x=5，∴D（5，0）；

②當(dāng)BD⊥AB時(shí)，如圖2，

設(shè)直線(xiàn)BD的關(guān)系式為，將B（﹣1，﹣2）代入上式得： ，∴直線(xiàn)AD的關(guān)系式為，令y=0得：x=﹣5，∴D（﹣5，0）；

③當(dāng)AD⊥BD時(shí)，如圖3，

∵O為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，∴OD=AB=OA，∵A（1，2），∴OC=1，AC=2，由勾股定理得：OA==，∴OD=，∴D（，0），

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，當(dāng)D為直角頂點(diǎn)，且D在x軸負(fù)半軸時(shí)，D（，0）；

故x軸上存在一點(diǎn)D，使△ABD為直角三角形，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（5，0）或（﹣5，0）或（，0）或D（，0）．