Question

7．如圖，數軸上有A、B、C三點，分別對應的數為a、b、c，且滿足a是方程|x+30|=0的解，（b-10）²與|c-18|互為相反數．
（1）求a、b、c的值；
（2）點A、B、C在軸上同時向數軸的正方向運動，點A運動的速度是6個單位長度/秒，點B與點C運動的速度是3個單位長度/秒，問運動多長時間時，AB=2BC？
（3）點A在軸上向數軸的正方向運動，其速度是6個單位長度/秒；線段BC在數軸上向數軸的負方向以3個單位長度/秒運動，是否存在運動后線段AB、BC的中點重合的時刻，若存在，請求出線段BC的運動時間；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由絕對值和二次平方式的非負性可知，a+30=0、b-10=0、c-18=0，解方程即可得出結論；
（2）設運動x秒時，AB=2BC．由B、C兩點運動速度相同，可知線段BC長度為固定值，依據路程=速度×時間，結合A、B兩點的初始位置，即可得出關于時間x的一元一次方程，解方程即可得出結論；
（3）假設存在，設運動時間t秒時，線段AB、BC的中點重合．結合題意可知此時A、C點重合，依據路程=速度和×時間，可列出關于時間t的一元一次方程，解方程即可得出結論．

解答 解：（1）由題意得：$\left\{\begin{array}{l}{a+30=0}\\{b-10=0}\\{c-18=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-30}\\{b=10}\\{c=18}\end{array}\right.$．
（2）設運動x秒時，AB=2BC．
由已知得：|（6x-30）-（10+3x）|=2×（18-10），
解得：x₁=8，x₂=$\frac{56}{3}$．
故運動8或$\frac{56}{3}$秒時，AB=2BC．
（3）假設存在，設運動時間t秒時，線段AB、BC的中點重合．
此時，點A與點C重合，
由已知得：6t-（-3t）=18-（-30），
解得：t=$\frac{16}{3}$．
故存在運動后線段AB、BC的中點重合的時刻，此時線段BC的運動時間為$\frac{16}{3}$秒．

點評 本題考查了一元一次方程的應用、數軸以及絕對值和二次平方式的非負性，解題的關鍵是：（1）依據絕對值和二次平方式的非負性得出關于a、b、c的一元一次方程組；（2）根據數量關系列出關于x的一元一次方程；（3）根據數量關系列出關于t的一元一次方程．本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，根據數量關系列出方程（或方程組）是關鍵．