Question

17．觀察下列等式：
1²-0²=1，2²-1²=3，3²-2²=5，4²-3²=7．
（1）請(qǐng)你繼續(xù)寫出第5個(gè)和第6個(gè)等式；
（2）請(qǐng)你猜想并寫出第100個(gè)等式；
（3）如果用正整數(shù)n表示第n個(gè)等式，請(qǐng)你用含有n的等式表示出這一規(guī)律．并用你所學(xué)的知識(shí)解釋一下其正確性．

Answer 1

分析 （1）觀察前4個(gè)等式，發(fā)現(xiàn)等式中數(shù)字的變化規(guī)律“等式中第一個(gè)底數(shù)為n，第2個(gè)底數(shù)為n-1，等式右邊結(jié)果為2n-1”，結(jié)合該變化規(guī)律即可得出結(jié)論；
（2）利用（1）的規(guī)律，即可得出結(jié)論；
（3）結(jié)合（1）規(guī)律用正整數(shù)n表示第n個(gè)等式，即n²-（n-1）²=2n-1（n為正整數(shù)）．利用完全平方公式的展開式結(jié)合整式的運(yùn)算法則即可證得結(jié)論成立．

解答 解：（1）觀察：1²-0²=1，2²-1²=3，3²-2²=5，4²-3²=7，
發(fā)現(xiàn)：等式中第一個(gè)底數(shù)為n，第2個(gè)底數(shù)為n-1，等式右邊結(jié)果為2n-1，
則第5個(gè)等式為5²-4²=9，第6個(gè)等式為6²-5²=11．
（2）結(jié)合（1）可得出：
第100個(gè)等式為100²-99²=199．
（3）結(jié)合（1）可得出：
第n個(gè)等式為n²-（n-1）²=2n-1（n為正整數(shù)）．
證明：左邊=n²-（n-1）²
=n²-（n²-2n+1）
=2n-1=右邊．
故結(jié)論成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了規(guī)律型中的數(shù)字變化以及完全平方公式，解題的關(guān)鍵是找出規(guī)律“等式中第一個(gè)底數(shù)為n，第2個(gè)底數(shù)為n-1，等式右邊結(jié)果為2n-1”．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)給定的等式的變化找出變化規(guī)律是關(guān)鍵．