Question

【題目】如圖，圓O的直徑為5，在圓O上位于直徑AB的異側(cè)有定點(diǎn)C和動(dòng)點(diǎn)P，已知BC∶CA＝4∶3，點(diǎn)P在半圓弧AB上運(yùn)動(dòng)(不與A、B重合)，過C作CP的垂線CD交PB的延長線于D點(diǎn)

(1)求證：AC·CD＝PC·BC；

(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AB弧中點(diǎn)時(shí)，求CD的長；

(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PCD的面積最大？并求這個(gè)最大面積S．

Answer 1

【答案】（1）略

（2）

（3）

【解析】

解：(1)∵AB為直徑，∴∠ACB＝90°．又∵PC⊥CD，∴∠PCD＝90°．

而∠CAB＝∠CPD，∴△ABC∽△PCD．∴．

∴AC·CD＝PC·BC；

(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AB弧中點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)B作BE⊥PC于點(diǎn)E．

∵P是AB中點(diǎn)，∴∠PCB＝45°，CE＝BE＝BC＝2．

又∠CAB＝∠CPB，∴tan∠CPB＝tan∠CAB＝．∴PE＝＝＝．

從而PC＝PE＋EC＝．由(1)得CD＝PC＝

(3)當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，S△PCD＝PC·CD．由(1)可知，CD＝PC．

∴S△PCD＝PC2．故PC最大時(shí)，S△PCD取得最大值；

而PC為直徑時(shí)最大，∴S△PCD的最大值S＝×52＝．