Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2﹣x+c與直線y＝x+交于A、B兩點，已知點B的橫坐標是4，直線y＝x+與x、y軸的交點分別為A、C，點P是拋物線上一動點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點P在直線y＝x+下方，求△PAC的最大面積；

（3）設M是拋物線對稱軸上的一點，以點A、B、P、M為頂點的四邊形能否成為平行四邊形？若能，求出點P的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x﹣；（2）；（3）點P的坐標為：（6，）或（﹣4，）或（2，﹣）．

【解析】

（1）由直線y＝x+與x、y軸的交點分別為A、C，得出點A的坐標，將x=4代入直線y＝x+中求出y值，即可得出點B坐標，由點A、B兩點的坐標利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（2）過點P作y軸的平行線交AB于點H，設出P點坐標，表示出H的坐標，利用分割圖形法求面積找出S△PAC關于x的二次函數(shù)關系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質即可解決最值問題；
（3）假設能，分線段AB為對角線和邊兩種情況來考慮，根據(jù)平移的性質和中點公式求出P點的橫坐標，將其代入拋物線解析式中即可得出點P的坐標．

解：（1）y＝x+，令y＝0，則x＝﹣1，故點A（﹣1，0），

∵B的橫坐標是4，則點B（4，2），

將點A、B的坐標代入拋物線表達式得： ，解得：，

故拋物線的表達式為：y＝x2﹣x﹣；

（2）過點P作y軸的平行線交AB于點H，

設點P（x，x2﹣x﹣），則點H（x，x+）

則△PAC面積S＝S△PHA﹣S△PHC＝PH（xC﹣xA）

＝×（x+﹣x2+x+）

＝﹣ x2+x+，

∵＜0，故S有最大值，

當x＝時，S的最大值為：；

（3）能，理由：

設點P的坐標為：（m，n），點M（1，s），而點A、B的坐標分別為：（﹣1，0）、（4，2），

①當AB是邊時，

點A向右平移5個單位、向上平移2個單位得到B，

同樣，點P（M）向右平移5個單位、向上平移2個單位得到M（P），

即1+5＝m或1﹣5＝m，

解得：m＝6或﹣4，則n＝，

故點P（6，）或（﹣4，）；

②當AB是對角線時，

由中點公式得：m+1＝4﹣1，

解得：m＝2，故點P（2，﹣）；

綜上，點P的坐標為：（6，）或（﹣4，）或（2，﹣）．