Question

【題目】矩形中，點(diǎn)分別在邊上，點(diǎn)分別在邊上，與交于點(diǎn)，記．

（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，若，求的值；

（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，求的最大值和最小值；

（3）若的值為3，當(dāng)與重合且為直角三角形時(shí)，直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）當(dāng)的長取最大時(shí)，取最短，此時(shí)最大，最大值為；當(dāng)的最短時(shí)，的值取最大，此時(shí)的值最小，最小值為；（3）為或

【解析】

（1）作于于，設(shè)交于點(diǎn)交于點(diǎn)，易證，得，進(jìn)而即可求解；

（2）設(shè)，則，可得MN最短為，最長為，EF最短為，最長為，進(jìn)而即可得到結(jié)論；

（3）當(dāng)與重合且為直角三角形時(shí)，分兩種情況：①∠DFO=90°時(shí)，②當(dāng)∠DOF=90°時(shí)，分別求解，即可．

（1）作于于，設(shè)交于點(diǎn)交于點(diǎn)，則，

四邊形是矩形，

，

，

，

又，

，

又，

，

又，

，

，

又，

；

（2），

∴設(shè)，則，

時(shí)，MN最短為與對(duì)角線重合時(shí),MN最長為，

時(shí)，EF最短為與對(duì)角線重合時(shí)，EF最長為，

，

當(dāng)的長取最大時(shí)，取最短，此時(shí)最大，最大值為，

當(dāng)的最短時(shí)，的值取最大，此時(shí)的值最小，最小值為

即的最大值為，最小值為；

（3）∵=3，

∴設(shè)EF=a，則MN=3a，

當(dāng)與重合且為直角三角形時(shí)，分兩種情況：

①∠DFO=90°時(shí)，AB=CD=EF=a，BD=MN=3a，

∴BC=，

∴=a：=；

②當(dāng)∠DOF=90°時(shí)，過點(diǎn)F作FG⊥BC于點(diǎn)G，

∴∠EFG+∠FEG=∠DBC+∠FEG，

∴∠EFG=∠DBC，

∵∠FGE=∠BCD=90°，

∴FGE~BCD，

∴，

∵FG=AB，

∴=，

綜上所述：為或．