Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A(1，0)、B(﹣3，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D．

(1)求該拋物線的解析式與頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．

(2)試判斷△BCD的形狀，并說明理由．

(3)若點(diǎn)E在x軸上，點(diǎn)Q在拋物線上．是否存在以B、C、E、Q為頂點(diǎn)且以BC為一邊的平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

(4)探究坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P，使得以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】(1) 拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(﹣1，4)；(2) △BCD是直角三角形，理由見解析；(3) Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣2，3)或(﹣1，﹣3)或(﹣﹣1，﹣3)； (4) 符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為：(0，0)或(0，﹣)或(﹣9，0)．

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式；

（2）利用勾股定理求得△BCD的三邊的長，然后根據(jù)勾股定理的逆定理即可作出判斷；

（3）當(dāng)B、C、E、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，有兩種情況：①當(dāng)Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)﹣3時(shí)，代入解析式即可求得；

（4）分P在x軸和y軸兩種情況討論，舍出P的坐標(biāo)，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等即可求解．

(1)拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A(1，0)、B(﹣3，0)兩點(diǎn)，

∴，

解得a＝﹣1，b＝﹣2，

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3，

∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣(x+1)2+4，

∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(﹣1，4)；

(2)△BCD是直角三角形．

理由如下：如圖1，過點(diǎn)D分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為E、F，

∵在Rt△BOC中，OB＝3，OC＝3，

∴BC2＝OB2+OC2＝18，

在Rt△CDF中，DF＝1，CF＝OF﹣OC＝4﹣3＝1，

∴CD2＝DF2+CF2＝2，

在Rt△BDE中，DE＝4，BE＝OB﹣OE＝3﹣1＝2，

∴BD2＝DE2+BE2＝20，

∴BC2+CD2＝BD2

∴△BCD為直角三角形；

(3)①當(dāng)Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3時(shí)，

∴把y＝3代入y＝﹣x2﹣2x+3求得x＝0或﹣2，

∴Q1(﹣2，3)；

②當(dāng)Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為﹣3時(shí)，

把y＝﹣3代入y＝﹣x2﹣2x+3求得x＝﹣1或﹣﹣1，

∴Q2(﹣1，﹣3)，Q3(﹣﹣1，﹣3)，

綜上，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣2，3)或(﹣1，﹣3)或(﹣﹣1，﹣3)．

(4)由(2)知BC＝3，CD＝，BD＝2，

①∵，，故當(dāng)P是原點(diǎn)O時(shí)，△ACP∽△DBC；

②當(dāng)AC是直角邊時(shí)，若AC與CD是對(duì)應(yīng)邊，

設(shè)P的坐標(biāo)是(0，a)，則PC＝3﹣a，，即，

解得：a＝﹣9，

則P的坐標(biāo)是(0，﹣9)，三角形ACP不是直角三角形，則△ACP∽△CBD不成立；

③當(dāng)AC是直角邊，若AC與BC是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，

設(shè)P的坐標(biāo)是(0，b)，則PC＝3﹣b，則，即，

解得：b＝﹣，

故P是(0，﹣)時(shí)，則△ACP∽△CBD一定成立；

④當(dāng)P在x軸上時(shí)，AC是直角邊，P一定在B的左側(cè)，設(shè)P的坐標(biāo)是(d，0)，

則AP＝1﹣d，當(dāng)AC與CD是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，，即，

解得：d＝1﹣3，此時(shí)，兩個(gè)三角形不相似；

⑤當(dāng)P在x軸上時(shí)，AC是直角邊，P一定在B的左側(cè)，設(shè)P的坐標(biāo)是(e，0)．

則AP＝1﹣e，當(dāng)AC與DC是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，，即，

解得：e＝﹣9，符合條件．

綜上，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為：(0，0)或(0，﹣)或(﹣9，0)．