Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，為反比例函數(shù)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以，為頂點(diǎn)構(gòu)造菱形．

（1）如圖1，點(diǎn)，橫坐標(biāo)分別為1，4，對(duì)角線(xiàn)軸，菱形面積為．求的值．

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)至某一時(shí)刻，點(diǎn)，點(diǎn)恰好落在軸和軸正半軸上，此時(shí)．求點(diǎn)，的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2），

【解析】

(1) 由菱形的性質(zhì)可得BD=2BE=6, AC⊥DB,由菱形的面積公式可求AC= ,設(shè)點(diǎn)B (4，a)，則點(diǎn)A (1, +a)，代入解析式可求a的值，即可求k的值;

(2)過(guò)點(diǎn)A作AE⊥y軸于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F,設(shè)點(diǎn)A (m, )，由全等三角形的性質(zhì)可得AE=DO=CF=m, DE=OC=BF=-m,可求點(diǎn)B坐標(biāo)，代入解析式可求解．

（1）如圖，連結(jié)交于點(diǎn)．

∵，的橫坐標(biāo)分別為1，4，軸．

∴

∵菱形的對(duì)角線(xiàn)，相交于點(diǎn)

∴，AC⊥DB

∵

∴

∴AE=CE=

設(shè)，

∵點(diǎn)，都在反比例函數(shù)上

∴解得．

∴．

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)作軸，過(guò)點(diǎn)作軸．

由（1）可知點(diǎn)，在反比例函數(shù)上，設(shè)

∵菱形中，

∴四邊形是正方形

∴，

∴∠ADM+∠MAD=90°，∠MDA+∠CDO=90°，∠DCO+∠CDO=90°，∠BCN+∠DCO=90°，

∴∠MAD=∠CDO=∠BCN，且∠AMD=∠DOC=∠CNB90°，AD=CD=BC，

∴．

∴，

∴．

∴．

由此可知點(diǎn)的坐標(biāo)為，

將點(diǎn)代入得

或（舍去）

∴，