【題目】在正方形ABCD中,AB6,E為直線AB上一點(diǎn),EFAB交對(duì)角線ACF,點(diǎn)GAF中點(diǎn),連接CE,點(diǎn)MCE中點(diǎn),連接BM并延長交直線AC于點(diǎn)O

1)如圖1,E在邊AB上時(shí),   ,∠GBM   ;

2)將(1)中AEFA逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意一銳角,其他條件不變,如圖2,(1)中結(jié)論是否任然成立?請(qǐng)加以證明.

3)若BE2,則CO長為   

【答案】(1)45°;(2)成立,理由見解析;(33

【解析】

1)連結(jié)EG、GM.想辦法證明GBM是等腰直角三角形即可解決問題.
2)成立.延長GMH,使得MH=GM,連接BH,HC,延長HCAF的延長線于I,設(shè)AICDJ.利用全等三角形的性質(zhì)證明GBM是等腰直角三角形即可解決問題.
3)分兩種情形①點(diǎn)E在線段AB上.②點(diǎn)EAB的延長線上,分別求解即可解決問題.

解:(1)連結(jié)EG、GM

∵四邊形ABCD是正方形,

∴∠ABC90°,∠CAB=∠ACB45°,

EFAB

∴∠AEF90°,

∴∠EAF=∠EFA45°,

AGGF

EGAF

∴∠EGC90°

EMMC,

GMBMCE,

∴∠MCG=∠MGC,∠MBC=∠MCB,

∴∠BMG=∠BME+GME2BMC+2GCM2ACB90°

GMB為等腰直角三角形.

故答案為,45°

2)成立.

理由:延長GMH,使得MHGM,連接BH,HC,延長HCAF的延長線于I,設(shè)AICDJ

EMMC,GMMH,∠EMG=∠HMC,

∴△EMG≌△CMHSAS),

EGCH,∠EGM=∠MHC,

ECCH

∴∠AGE=∠AIH90°,

AGEG

AGCH,

∵∠D=∠I90°,∠AJD=∠CJI

∴∠ICD=∠IAD,

∵∠BAG+IAD90°,∠BCH+ICF90°

∴∠BCH=∠BAG,

BABC

∴△BAG≌△BCHSAS),

BGDH,∠ABG=∠CBH,

∴∠∠GBH=∠ABC90°

GBH是等腰直角三角形,

,∠GBM45°

3)當(dāng)EB上方時(shí),如圖31中,延長BOCDT

BECT

∴∠MEB=∠MCT,

∵∠EMB=∠CMT,EMCM,

∴△EMB≌△CMTASA),

BECT2,

CTAB

,
AC=6,
OC=×6
CO=
當(dāng)EB下方時(shí)同法可得CO=3
綜上所述,OC的長為3
故答案為3

練習(xí)冊(cè)系列答案
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