Question

【題目】如圖，已知⊙O的半徑為2，AB為直徑，CD為弦．AB與CD交于點M，將 沿著CD翻折后，點A與圓心O重合，延長OA至P，使AP=OA，鏈接PC．

（1）求CD的長；
（2）求證：PC是⊙O的切線；
（3）點G為 的中點，在PC延長線上有一動點Q，連接QG交AB于點E，交 于點F（F與B、C不重合）．問GEGF是否為定值？如果是，求出該定值；如果不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，連接OC，

∵ 沿CD翻折后，點A與圓心O重合，

∴OM= OA= ×2=1，CD⊥OA，

∵OC=2，

∴CD=2CM=2 =2 =2 ；

（2）證明：∵PA=OA=2，AM=OM=1，CM= CD= ，∠CMP=∠OMC=90°，

∴PC= = =2 ，

∵OC=2，PO=2+2=4，

∴PC2+OC2=（2 ）2+22=16=PO2，

∴∠PCO=90°，

∴PC是⊙O的切線

（3）解：解：GEGF是定值，證明如下，

連接GO并延長，交⊙O于點H，連接HF

∵點G為 的中點

∴∠GOE=90°，

∵∠HFG=90°，且∠OGE=∠FGH

∴△OGE∽△FGH

∴ =

∴GEGF=OGGH=2×4=8．

【解析】（1）連接OC，根據翻折的性質求出OM,CD⊥OA，再利用勾股定理列式求解即可；（2）根據勾股定理求出PC，然后利用勾股定理的逆定理求出∠PCO=90°，再根據圓的切線判定即可；（3）連接GO并延長，交⊙O于點H，連接HF，根據垂徑定理得出∠GOE=90°，再判斷出△OGE∽△FGH最后根據相似三角形的性質得出比例式，進而得出GEGF=OGGH=2×4=8．。
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解勾股定理的概念的相關知識，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2，以及對勾股定理的逆定理的理解，了解如果三角形的三邊長a、b、c有下面關系：a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形．