Question

【題目】已知點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函數(shù)y=x2+mx+n的圖象上，當(dāng)x1=1、x2=3時(shí)，y1=y2．

（1）①求m；②若拋物線與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，求n的值．

（2）若P（a，b1），Q（3，b2）是函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，且b1＞b2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

（3）若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x1、x2都有y1+y2≥2，求n的范圍．

Answer 1

【答案】（1）①m=-4；②n=4 ；（2）a＞3或a＜1 ；（3）n≥5

【解析】試題分析：（1）①利用拋物線的對(duì)稱(chēng)性可得拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2，則根據(jù)拋物線對(duì)稱(chēng)軸方程得到=2，然后解方程即可得到m的值；

②利用△=b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)得到△=m2﹣4n=0，然后解方程即可得到n的值；

（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)，由于x1=1、x2=3時(shí)，y1=y2，點(diǎn)P到直線x=2的距離比點(diǎn)Q到直線x=2的距離要大，于是可得到a＜1或a＞3；

（3）由于對(duì)于任意實(shí)數(shù)x1、x2都有y1+y2≥2，則判斷二次函數(shù)y=x2﹣4x+n的最小值大于或等于1，根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得到≥1，然后解不等式即可．

試題解析：解：（1）①∵當(dāng)x1=1、x2=3時(shí)，y1=y2，∴點(diǎn)A與點(diǎn)B為拋物線上的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2，即=2，∴m=﹣4；

②∵拋物線與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，∴△=m2﹣4n=0，而m=﹣4，∴n=4；

（2）∵x1=1、x2=3時(shí)，y1=y2，而拋物線開(kāi)口向上，∴當(dāng)a＞3時(shí)，b1＞b2，或a＜1時(shí)，b1＞b2，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為a＜1或a＞3；

（3）∵對(duì)于任意實(shí)數(shù)x1、x2都有y1+y2≥2，∴二次函數(shù)y=x2﹣4x+n的最小值大于或等于1，即≥1，∴n≥5．