Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-

1

2

x+b(b＞0)分別交x軸，y軸于A，B兩點(diǎn)，以O(shè)A，OB為邊作矩形OACB，D是直線BC上的動(dòng)點(diǎn)，以M（2，0），N（12，0）為斜邊端點(diǎn)作等腰直角三角形PMN，點(diǎn)P在第一象限．
（1）求直線AB過點(diǎn)P時(shí)b的值；
（2）在b的值變化過程中，若以P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△OAB相似，請求出所有符合條件的b的值；
（3）設(shè)矩形OACB與△PMN重疊部分的面積為S，當(dāng)0＜b＜5時(shí)，求S與b的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）過P點(diǎn)，即P點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程，代入即得答案．
（2）相似的條件是角相等，本題只問相似時(shí)b的值，未要求求出全部的圖象，所以我們只討論角相等成立的可能就行．這里因?yàn)椤螪BP≠90°，則構(gòu)造∠DBP=∠OAB或∠DBP=∠OBA即可，當(dāng)然要注意有b＜5和b＞5兩種情形．
（3）重疊面積一般我們用一個(gè)規(guī)則圖象減去未重疊部分面積來表示．討論時(shí)注意多種情形，我們可以考慮A、C點(diǎn)的位置，A在OM上，C在PM左邊，PM和PN之間，PN右邊這四種情形．

解答：解：
（1）

如圖1，過點(diǎn)P作PH⊥MN于H，此時(shí)MH=NH．
∵M(jìn)（2，0），N（12，0），
∴H（7，0），PH=

1

2

MN=5，
∴P（7，5）．
將P點(diǎn)坐標(biāo)代入得直線y=-

1

2

x+b，
解得 b=

17

2

．

（2）
顯然，∠DBP≠90°，
①當(dāng)∠DBP=∠OAB時(shí)，

b＜5時(shí)，如圖2，連接OC，過點(diǎn)P作PB₁∥OC交y軸于B₁，過點(diǎn)B₁作B₁E∥x軸．
∵四邊形OACB為矩形，
∴∠COA=∠OAB，
∴∠EB₁P=∠COA=∠OAB，則B₁E上存在D點(diǎn)使得△PB₁D∽△B₁A₁O，
∵y=-

1

2

x+b分別交x軸，y軸于A，B兩點(diǎn)，
∴A（2b，0），B（0，b），
∴C（2b，b）
設(shè)直線OC為y=kx+c，代入O（0，0），C（2b，b），
解得

k= 1 2 b=0

，
∴OC：y=

1

2

x，
∵PB₁∥OC
∴可設(shè)B₁P為 y=

1

2

x+b，
∵P（7，5）過直線B₁P，
∴代入P點(diǎn)坐標(biāo)，解得b=

3

2

．


b＞5時(shí)，如圖3，過點(diǎn)P作PB₂∥BA交y軸于B₂，過點(diǎn)B₂作B₂F∥x軸，則∠PB₂O=∠ABO．
∵∠PB₂O+∠PB₂F=90°，∠ABO+∠OAB=90°，
∴∠PB₂F=∠OAB，則B₂F上存在D點(diǎn)使得△PB₂D∽△B₂A₂O，
∵PB₂∥BA
∴可設(shè)B₂P為 y=-

1

2

x+b，
∵P（7，5）過直線B₂P，
∴代入P點(diǎn)坐標(biāo)，解得b=

17

2

．

②當(dāng)∠DBP=∠OBA時(shí)，

b＜5時(shí)，因?yàn)椤螪BP=∠OBA且∠OBA+∠DBA=90°，所以∠PBA=∠DBP+∠DBA=90°，即PB⊥BA，如圖4，過點(diǎn)P作BA的垂線，y正半軸無交點(diǎn)．

b＞5時(shí)，如圖5，以O(shè)為圓心分別以O(shè)B，OA的長為半徑畫弧，分別交x軸，y軸于K，J，易得△JKO≌△ABO，則∠KJO=∠BAO．
過點(diǎn)P作PB₃∥JK交y軸于B₃，過點(diǎn)B₃作B₃G∥x軸，則∠PB₃O=∠KJO=∠BAO．
∵∠PB₃O+∠PB₃G=90°，∠ABO+∠OAB=90°，
∴∠PB₃G=∠ABO，則B₃G上存在D點(diǎn)使得△PB₃D∽△B₃A₃O．
∵A（2b，0），B（0，b），
∴J（0，2b），K（b，0），
可設(shè)JK為 y=kx+c代入J，K兩點(diǎn)，求得

k=-2 c=2b

，
則JK：y=-2x+2b
∵PB₃∥JK
∴可設(shè)B₃P為 y=-2x+b，
∵P（7，5）過直線B₃P，
∴代入P點(diǎn)坐標(biāo)，解得b=19．
綜上所述，b=

17

2

或

3

2

或19時(shí)，存在以P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△OAB相似．

（3）
①當(dāng)A在OM上時(shí)，S=0．把M（2，0）代入y=-

1

2

x+b，得b=1，即當(dāng)0＜b≤1時(shí)，S=0．
②

如圖6，記CA與PM的交點(diǎn)為L，當(dāng)C在PM左邊時(shí)，S=S_△MAL．
∵M(jìn)（2，0），N（12，0），P（7，5），
∴可由待定系數(shù)法求得直線PM：y=x-2，直線PN：y=-x+12．
把C（2b，b）代入直線PM：y=x-2，得b=2，此時(shí)C（4，2），即當(dāng)1＜b≤2時(shí)，S=S_△MAL，
∵K的橫坐標(biāo)為2b，
∴代入直線PM：y=x-2可求坐標(biāo)，
∴L（2b，2b-2），
∴S_△MAL=

1

2

MA•ML=

1

2

•(2b-2)•(2b-2)=2b²-4b+2
∴S=2b²-4b+2，即當(dāng)1＜b≤2時(shí)，S=2b²-4b+2．
③

如圖7，記BC與PM的交點(diǎn)為Q，當(dāng)C在PM右邊，PN左邊時(shí)，S=S_矩形BOAC-S_梯形BOMQ，
把C（2b，b）代入直線PN：y=-x+12，得b=4，此時(shí)C（8，4），即當(dāng)2＜b≤4時(shí)，S=S_矩形BOAC-S_梯形BOMQ，
∵Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為b，直線PM：y=x-2，求得Q（b+2，b），
∴S_梯形BOMQ=

1

2

(BQ+OM)•OB=

1

2

•(b+2+2)•b=

b2

2

+2b，
  S_矩形BOAC=OB•OA=b•2b=2b²，
∴S=

3b2

2

-2b．即當(dāng)2＜b≤4時(shí)，S=

3b2

2

-2b．
④

當(dāng)4＜b＜5時(shí)，如圖8，此時(shí)C在PN的右邊，記PM分別交BC，CA于H，I，則S=S_矩形BOAC-S_梯形BOMQ-S_△HIC．
∵E點(diǎn)的縱坐標(biāo)為b，F(xiàn)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2b，
∴代入直線PN：y=-x+12可求坐標(biāo)，
∴E（12-b，b），F(xiàn)（2b，12-2b），
∴EC=2b-（12-b）=3b-12，CF=b-（12-2b）=3b-12，
∴S_△HIC=

1

2

•EC•FC=

1

2

•(3b-12)•(3b-12)=

9

2

b2-36b+72，
∴S=S_矩形BOAC-S_梯形BOMQ-S_△HIC=

3b2

2

-2b-（

9

2

b2-36b+72）=-3b²+34b-72．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)，其中由點(diǎn)求直線方程和由直線方程求點(diǎn)坐標(biāo)是非常常規(guī)的工作，也是本題的核心．另外對(duì)直線方程y=kx+b，k值相等表示平行，反之亦然，要熟練掌握．總體來說本題難度較高，解題時(shí)要找準(zhǔn)討論問題的突破口．