Question

如圖，在邊長為3的正方形ABCD中，點P從A開始沿折線AB-BC運動，連結(jié)PD交AC于Q．
（1）點P運動到AB的中點時，AQ=

 

；
（2）點P在整個運動過程中，當(dāng)它到達何位置時，△ADQ為等腰三角形？

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),等腰三角形的判定

專題：動點型

分析：（1）根據(jù)正方形的對角線等于邊長的

2

倍求出AC，再根據(jù)△APQ和△CDQ相似，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例求出

AQ

CQ

，然后求解即可；
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)，當(dāng)點P與點B、C重合時，△ADQ為等腰三角形，點P在BC上運動，AQ=AD時，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠ADQ=∠CPQ，再根據(jù)等邊對等角可得∠ADQ=∠AQD，然后求出∠CQP=∠CPQ，根據(jù)等角對等邊可得CP=CQ，然后求解即可．

解答：解：（1）∵正方形ABCD的邊長為3，
∴AC=

2

AD=3

2

，
∵AB∥CD，
∴△APQ∽△CDQ，
∴

AQ

CQ

=

AP

CD

，
∵點P為AB的中點，
∴AP=

1

2

AB=

1

2

CD，
∴

AQ

CQ

=

1

2

，
∴AQ=

1

1+2

×3

2

=

2

，
故答案為：

2

；

（2）①當(dāng)點P運動到與點B重合時，Q為正方形對角線的交點，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴QD=QA，
此時△ADQ為等腰三角形；
②當(dāng)點P運動到與點C重合時，點Q也與點C重合，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴DA=DQ，
此時△ADQ是等腰三角形；
③當(dāng)點P在BC邊上運動，且有AQ=AD時，
∵AD∥BC，
∴ADQ=∠CPQ，
∵AQ=AD，
∴∠ADQ=∠AQD，
又∵∠AQD=∠CQP（對頂角相等），
∴∠CQP=∠CPQ，
∴CQ=CP，
∵AC=3

2

，AQ=AD=3，
∴CQ=AC-AQ=3

2

-3，
∴CP=3

2

-3，
即當(dāng)點P在BC邊上且CP=3

2

-3時，△ADQ是等腰三角形；
綜上所述，點P與點B、C重合或點P在BC邊上且CP=3

2

-3時，△ADQ是等腰三角形．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，難點在于（2）根據(jù)三角形的腰長的不同和正方形的性質(zhì)分情況討論．