Question

17．如圖，拋物線y=ax²+bx+c的圖象與x軸交于A（-1.0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，-3），頂點(diǎn)為D．
（1）求此拋物線的解析式．
（2）求此拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)和對(duì)稱軸．
（3）探究對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、D、A為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線y=ax²+bx+c的圖象與x軸交于A（-1.0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，-3），可以求得拋物線的解析式；
（2）根據(jù)（1）中的解析式化為頂點(diǎn)式，即可得到此拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)和對(duì)稱軸；
（3）首先寫出存在，然后運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想分別求出各種情況下點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c的圖象與x軸交于A（-1.0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，-3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a×（-1）^{2}+b×（-1）+c=0}\\{a×{3}^{2}+3b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
即此拋物線的解析式是y=x²-2x-3；
（2）∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴此拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是（1，-4），對(duì)稱軸是直線x=1；
（3）存在一點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、D、A為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，y），
當(dāng)PA=PD時(shí)，
$\sqrt{（-1-1）^{2}+（0-y）^{2}}$=$\sqrt{（1-1）^{2}+（-4-y）^{2}}$，
解得，y=-$\frac{3}{2}$，
即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-$\frac{3}{2}$）；
當(dāng)DA=DP時(shí)，
$\sqrt{（-1-1）^{2}+[0-（-4）]^{2}}$=$\sqrt{（1-1）^{2}+（-4-y）^{2}}$，
解得，y=-4±$2\sqrt{5}$，
即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-4-2$\sqrt{5}$）或（1，-4+$2\sqrt{5}$）；
當(dāng)AD=AP時(shí)，
$\sqrt{（-1-1）^{2}+[0-（-4）]^{2}}$=$\sqrt{（-1-1）^{2}+（0-y）^{2}}$，
解得，y=±4，
即點(diǎn)P的坐標(biāo)是（1，4）或（1，-4），
當(dāng)點(diǎn)P為（1，-4）時(shí)與點(diǎn)D重合，故不符合題意，
由上可得，以點(diǎn)P、D、A為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-$\frac{3}{2}$）或（1，-4-2$\sqrt{5}$）或（1，-4+$2\sqrt{5}$）或（1，4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用分類討論的數(shù)學(xué)思想解答問(wèn)題．