【題目】如圖,折疊邊長為a的正方形ABCD,使點C落在邊AB上的點M處(不與點A,B重合),點D落在點N處,折痕EF分別與邊BC、AD交于點E、F,MN與邊AD交于點G.證明:

(1)AGM∽△BME

(2)若M為AB中點,則==;

(3)AGM的周長為2a.

【答案】見解析

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)得出A=BAGM=BME,再利用相似三角形的判定證明即可;

(2)設BE=x,利用勾股定理得出x的值,再利用相似三角形的性質(zhì)證明即可;

(3)設BM=x,AM=a﹣x,利用勾股定理和相似三角形的性質(zhì)證明即可.

證明:(1)四邊形ABCD是正方形,

∴∠A=B=C=90°

∴∠AMG+AGM=90°,

EF為折痕,

∴∠GME=C=90°,

∴∠AMG+BME=90°,

∴∠AGM=BME

AGMBME中,

∵∠A=B,AGM=BME

∴△AGM∽△BME;

(2)M為AB中點,

BM=AM=,

設BE=x,則ME=CE=a﹣x,

在RtBME中,B=90°,

BM2+BE2=ME2,即(2+x2=(a﹣x)2,

x=a,

BE=a,ME=a,

由(1)知,AGM∽△BME,

===

AG=BM=a,GM=ME=a,

==

(3)設BM=x,則AM=a﹣x,ME=CE=a﹣BE,

在RtBME中,B=90°,

BM2+BE2=ME2,即x2+BE2=(a﹣BE)2

解得:BE=,

由(1)知,AGM∽△BME,

==

CBME=BM+BE+ME=BM+BE+CE=BM+BC=a+x,

CAGM=CBME=(a+x)=2a.

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