【題目】已知一次函數(shù)y=x+4的圖象與二次函數(shù)y=ax(x﹣2)的圖象相交于A(﹣1,b)和B,點(diǎn)P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)(不與A、B重合),過(guò)點(diǎn)P作PCx軸,與二次函數(shù)y=ax(x﹣2)的圖象交于點(diǎn)C.

(1)求a、b的值

(2)求線段PC長(zhǎng)的最大值;

(3)若PAC為直角三角形,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】(1)a=1,b=3;(2)當(dāng)m=時(shí),PC有最大值,最大值為(3)PAC為直角三角形,點(diǎn)P的坐標(biāo)為P1(2,6),P2(3,7).

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系,可得b,根據(jù)待定系數(shù)法,可得a;

(2)根據(jù)平行于y軸的直線上兩點(diǎn)間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo),可得二次函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),可得答案;

(3)根據(jù)勾股定理,可得AP,CP的長(zhǎng),根據(jù)勾股定理的逆定理,可得關(guān)于m的方程,根據(jù)解方程,可得m的值,根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系,可得答案.

解:(1)A(﹣1,b)在直線y=x+4上,

b=﹣1+4=3,

A(﹣1,3).

A(﹣1,3)在拋物線y=ax(x﹣2)上,

3=﹣a(﹣1﹣2),

解得:a=1.

(2)設(shè)P(m,m+4),則C(m,m2﹣2m).

PC=(m+4)﹣(m2﹣2m)

=﹣m2+3m+4

=﹣(m﹣2+,

(m﹣2≥0,

﹣(m﹣2+

當(dāng)m=時(shí),PC有最大值,最大值為

(3)如圖

,

P(m,m+4),C(m,m2﹣2m),

AP2=(m+1)2+(m+4﹣3)2=2(m+1)2,AC2=(m+1)2+(m2﹣2m﹣3)2,PC2=(﹣m2+3m+4)2

①當(dāng)AP2+AC2=PC2時(shí),即2(m+1)2+(m+1)2+(m2﹣2m﹣3)2=(﹣m2+3m+4)2

3(m+1)2+[(m2﹣2m﹣3)2﹣(﹣m2+3m+4)2]=0

化簡(jiǎn),得(m+1)(m+1)(m﹣2)=0,

解得m=﹣1(不符合題意,舍),m=2,

當(dāng)m=2時(shí),m+4=6,即P(2,6);

②當(dāng)AP2=AC2+PC2時(shí),即2(m+1)2=(m+1)2+(m2﹣2m﹣3)2+(﹣m2+3m+4)2,

化簡(jiǎn),得

(m﹣4)(m+1)(m+1)(m﹣3)=0.

解得m=4(不符合題意,舍),m=﹣1(不符合題意,舍),m=3,

當(dāng)m=3時(shí),m+4=7,

即(3,7),

綜上所述:若PAC為直角三角形,點(diǎn)P的坐標(biāo)為P1(2,6),P2(3,7).

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(2)請(qǐng)?jiān)冢?)的基礎(chǔ)上,完成下列填空:

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D的半徑= (結(jié)果保留根號(hào));

ADC的度數(shù)為

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