Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(0，4)，B(3，4)，P 為線段 OA 上一動(dòng)點(diǎn)，過 O，P，B 三點(diǎn)的圓交 x 軸正半軸于點(diǎn) C，連結(jié) AB, PC，BC，設(shè) OP=m.

（1）求證：當(dāng) P 與 A 重合時(shí)，四邊形 POCB 是矩形.

（2）連結(jié) PB，求 tan∠BPC 的值.

（3）記該圓的圓心為 M，連結(jié) OM，BM，當(dāng)四邊形 POMB 中有一組對(duì)邊平行時(shí)，求所有滿足條件的 m 的值.

（4）作點(diǎn) O 關(guān)于 PC 的對(duì)稱點(diǎn)O ，在點(diǎn) P 的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)點(diǎn)O 落在△APB 的內(nèi)部 (含邊界)時(shí)，請(qǐng)寫出 m 的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）tan∠BPC=；（3）m=或 m=；（4）0≤m≤或 m=．

【解析】

（1）由∠COA=90°可知PC為直徑，所以∠PBC=90°，P、A重合時(shí)得3個(gè)直角，即證四邊形POCB為矩形．

（2）題干已知的邊長只有OA、AB，所以要把∠BPC轉(zhuǎn)化到與OA、OB有關(guān)的三角形內(nèi)．連接O，B，根據(jù)圓周角定理，得∠COB=∠BPC，又AB∥OC有∠ABP=∠COB，得∠BPC=∠ABO．

（3）分兩種情況：①OP∥BM即BM⊥x軸，延長BM交x軸于N，根據(jù)垂徑定理得ON=CN=3，設(shè)半徑為r，利用Rt△CMN的三邊關(guān)系列方程即可求出；②OM∥PB，根據(jù)圓周角定理和等腰三角形性質(zhì)得到△BOM≌△COM，所以BO=CO=5，用m表示各條線段，再利用勾股定理列方程求得m的值．

（4）因?yàn)辄c(diǎn)O與點(diǎn)O'關(guān)于直線對(duì)稱，所以∠PO'C=∠POC=90°，即點(diǎn)O'在圓上；考慮點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到特殊位置：①點(diǎn)O'與點(diǎn)O重合；②點(diǎn)O'落在AB上；③點(diǎn)O'與點(diǎn)B重合．算出對(duì)應(yīng)的m值再考慮范圍．

（1）∵∠COA=90°，∴PC是直徑，∴∠PBC=90°．

∵A（0，4）B（3，4），∴AB⊥y軸，∴當(dāng)A與P重合時(shí)，∠OPB=90°，∴四邊形POCB是矩形；

（2）連結(jié)OB，（如圖1）

∴∠BPC=∠BOC．

∵AB∥OC，∴∠ABO=∠BOC，∴∠BPC=∠BOC=∠ABO，∴tan∠BPC=tan∠ABO；

（3）∵PC為直徑，∴M為PC中點(diǎn)．

①如圖2，當(dāng)OP∥BM時(shí)，延長BM交x軸于點(diǎn)N．

∵OP∥BM，∴BN⊥OC于N，∴ON=NC，四邊形OABN是矩形，∴NC=ON=AB=3，BN=OA=4．

設(shè)⊙M半徑為r，則BM=CM=PM=r，∴MN=BN﹣BM=4﹣r．

∵MN2+NC2=CM2，∴（4﹣r）2+32=r2

解得：r，∴MN=4．

∵M、N分別為PC、OC中點(diǎn)，∴m=OP=2MN；

②如圖3，當(dāng)OM∥PB時(shí)，∠BOM=∠PBO．

∵∠PBO=∠PCO，∠PCO=∠MOC，∴∠OBM=∠BOM=∠MOC=∠MCO．

在△BOM與△COM中，∵∠BOM=∠COM，∠OBM=∠OCM，BM=CM，∴△BOM≌△COM（AAS），∴OC=OB5．

∵AP=4﹣m，∴BP2=AP2+AB2=（4﹣m）2+32．

∵∠ABO=∠BOC=∠BPC，∠BAO=∠PBC=90°，∴△ABO∽△BPC，∴，∴PC，∴PC2BP2[（4﹣m）2+32]．

又PC2=OP2+OC2=m2+52，∴[（4﹣m）2+32]=m2+52

解得：m或m=10（舍去）．

綜上所述：m或m．

（4）∵點(diǎn)O與點(diǎn)O'關(guān)于直線對(duì)稱，∴∠PO'C=∠POC=90°，即點(diǎn)O'在圓上．

當(dāng)O'與O重合時(shí)，得：m=0；

當(dāng)O'落在AB上時(shí)，得：m；

當(dāng)O'與點(diǎn)B重合時(shí)，得：m；

∴0≤m或m．