【題目】如圖,點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn),∠AOB=110°,∠BOC=a.將△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC,連接OD.
(1)試說明△COD是等邊三角形;
(2)當(dāng)a=150°時(shí),OB=3,OC=4,試求OA的長.
【答案】(1)見解析;(2)OA=5.
【解析】
(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出OC=OD,結(jié)合題意即可證得結(jié)論;
(2)結(jié)合(1)的結(jié)論可求AD=OB=3,CO=OD=4,∠ADO=90°,根據(jù)勾股定理可求OA的長.
解:證明:(1)∵將△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC,
∴CO=CD,∠OCD=60°,
∴△COD是等邊三角形.
(2)∵將△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC,
∴△BOC≌△ADC,
∴∠ADC=∠BOC=150°,AD=OB=3,
又∵△COD是等邊三角形,
∴∠ODC=60°,OD=OC=4
∴∠ADO=∠ADC﹣∠ODC=90°,
∴OA==5
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線,直線與拋物線、軸分別相交于、.
(1)時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)為________;
(2)當(dāng)、兩點(diǎn)重合時(shí),求的值;
(3)當(dāng)點(diǎn)達(dá)到最高時(shí),求拋物線解析式;
(4)在拋物線與軸所圍成的封閉圖形的邊界上,我們把橫坐標(biāo)是整數(shù)的點(diǎn)稱為“可點(diǎn)”,直接寫出時(shí)“可點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線與x軸交于點(diǎn),點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,且過點(diǎn).點(diǎn)P、Q是拋物線上的動(dòng)點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)當(dāng)點(diǎn)P在直線OD下方時(shí),求面積的最大值.
(3)直線OQ與線段BC相交于點(diǎn)E,當(dāng)與相似時(shí),求點(diǎn)Q的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=2,邊AB在x軸上,BC邊上的中線AD的反向延長線交y軸于點(diǎn)E(0,3),反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象過點(diǎn)C,則k的值為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】綜合與探究:
如圖1,的直角頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)在軸正半軸上,點(diǎn)在軸正半軸上,,,將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段,過點(diǎn)作軸于點(diǎn),拋物線經(jīng)過點(diǎn),與軸交于點(diǎn),直線與軸交于點(diǎn).
(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線的表達(dá)式;
(2)如圖2,已知點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)作的垂線交拋物線于點(diǎn)(點(diǎn)在第一象限),設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.
①點(diǎn)的縱坐標(biāo)用含的代數(shù)式表示為________;
②如圖3,當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo),判斷四邊形的形狀并證明結(jié)論;
③在②的前提下,連接,點(diǎn)是坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn),若以,,為頂點(diǎn)的三角形與全等,請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】類比探究:
(1)如圖1,等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P,若AP=8,BP=15,CP=17,求∠APB的大;(提示:將△ABP繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△ACP′處)
(2)如圖2,在△ABC中,∠CAB=90°,AB=AC,E、F為BC上的點(diǎn),且∠EAF=45°.求證:EF2=BE2+FC2;
(3)如圖3,在△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,點(diǎn)O為△ABC內(nèi)一點(diǎn),連接AO、BO、CO,且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°,若AC=1,求OA+OB+OC的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了增強(qiáng)學(xué)生對新冠病毒預(yù)防知識(shí)的了解,我校初一年級開展了網(wǎng)上預(yù)防知識(shí)的宣傳教育活動(dòng).為了解這次宣傳教育活動(dòng)的效果,學(xué)校從初一年級1500名學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行網(wǎng)上知識(shí)測試(測試滿分100分,得分均為整數(shù)),并根據(jù)抽取的學(xué)生測試成績,制作了如下統(tǒng)計(jì)圖表:
抽取學(xué)生知識(shí)測試成績的頻數(shù)表 | ||
成績(分) | 頻數(shù)(人) | 頻率 |
10 | 0.1 | |
15 | ||
0.2 | ||
40 | ||
由圖表中給出的信息回答下列問題:
(1) , ,并補(bǔ)全頻數(shù)直方圖;
(2)如果80分以上(包括80分)為優(yōu)秀,請估計(jì)初一年級1500名學(xué)生中成績優(yōu)秀的人數(shù);
(3)小強(qiáng)在這次測試中成績?yōu)?/span>85分,你認(rèn)為85分一定是這100名學(xué)生知識(shí)測試成績的中位數(shù)嗎?請簡要說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,A(0,4),B(3,4),P 為線段 OA 上一動(dòng)點(diǎn),過 O,P,B 三點(diǎn)的圓交 x 軸正半軸于點(diǎn) C,連結(jié) AB, PC,BC,設(shè) OP=m.
(1)求證:當(dāng) P 與 A 重合時(shí),四邊形 POCB 是矩形.
(2)連結(jié) PB,求 tan∠BPC 的值.
(3)記該圓的圓心為 M,連結(jié) OM,BM,當(dāng)四邊形 POMB 中有一組對邊平行時(shí),求所有滿足條件的 m 的值.
(4)作點(diǎn) O 關(guān)于 PC 的對稱點(diǎn)O ,在點(diǎn) P 的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中,當(dāng)點(diǎn)O 落在△APB 的內(nèi)部 (含邊界)時(shí),請寫出 m 的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某專賣店有A、B兩種商品,已知在打折前,買60件A商品和30件B商品用了1080元,買50件A商品和10件B商品用了840元.A、B兩種商品打相同折以后,某人買500件A商品和450件B商品一共比不打折少花1960元,請問A、B兩種商品打折前各多少錢?打了多少折?
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