【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,過一點分別作坐標(biāo)軸的垂線,若與坐標(biāo)軸圍成矩形的周長與面積相等,則這個點叫做和諧點。例如,圖中過點p分別作x軸,y軸的垂線,與坐標(biāo)軸圍成矩形OAPB的周長與面積相等,則點p是和諧點。

判斷點M(1,2),N(4,4)是否為和諧點,并說明理由;

若和諧點P(a,3)在直線y=-x+b(b為常數(shù))上,求a,b的值.

【答案】(1)∵點M不是和諧點,點N是和諧點;(2)a=6,b=9或a= -6,b= -3.

【解析】(1)根據(jù)和諧點的定義,利用矩形的面積和周長公式進(jìn)行證明即可;
(2)當(dāng)a>0時,根據(jù)(a+3)×2=3a,求出a,進(jìn)一步求出b;當(dāng)a<0時,根據(jù)(-a+3)×2=-3a,求出a,進(jìn)一步求出b.

解:(1)∵1×2≠2(1+2),4×4=2×(4+4),
∴點M不是和諧點,點N是和諧點.
(2)由題意得,①當(dāng)a>0時,(a+3)×2=3a,
∴a=6,
∴P(6,3),
∵點P在直線y=-x+b上,
∴代入得3=-6+b,
解得,b=9.

②當(dāng)a<0時, (-a+3)×2=-3a,

∴a=-6,

點P(a,3)在直線y=-x+b上,代入得:b=-3,

∴a=6,b=9或a= -6,b= -3.

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