【題目】如圖,拋物線y=ax2+ x+c(a≠0)與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,拋物線的對稱軸交x軸于點D,已知點A的坐標為(﹣1,0),點C的坐標為(0,2).

(1)求拋物線的解析式;
(2)在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使△PCD是以CD為腰的等腰三角形?如果存在,直接寫出P點的坐標;如果不存在,請說明理由;
(3)點E是線段BC上的一個動點,過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F,當點E運動到什么位置時,四邊形CDBF的面積最大?求出四邊形CDBF的最大面積及此時E點的坐標.

【答案】
(1)

解:由題意 ,

解得 ,

∴二次函數(shù)的解析式為y=﹣ x2+ x+2


(2)

解:存在.如圖1中,

∵C(0,2),D( ,0),

∴CD= = ,

當CP=CD時,P1 ,4),

當DP=DC時,P2 ),P3 ,﹣ ).

綜上所述,滿足條件的點P坐標為( ,4)或( , )或( ,﹣


(3)

解:如圖2中,作CM⊥EF于M,

∵B(4,0),C(0,2),

∴直線BC的解析式為y=﹣ ,設E(a,﹣ +2),F(xiàn)(a,﹣ a2+ a+2),

∴EF=﹣ a2+ a+2﹣(﹣ +2)=﹣ a2+2a,(0≤a≤4),

∵S四邊形CDBF=SBCD+SCEF+SBEF= BDOC+ EFCM+ EFBN

= + a(﹣ a2+2a)+ (4﹣a)(﹣ a2+2a)

=﹣a2+4a+

=﹣(a﹣2)2+ ,

∴a=2時,四邊形CDBF的面積最大,最大值為

∴E(2,1)


【解析】(1)利用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為解方程組即可.(2)如圖1中,分兩種情形討論①當CP=CD時,②當DP=DC時,分別求出點P坐標即可.(3)如圖2中,作CM⊥EF于M,設E(a,﹣ +2),F(xiàn)(a,﹣ a2+ a+2),則EF=﹣ a2+ a+2﹣(﹣ +2)=﹣ a2+2a,(0≤a≤4),根據(jù)S四邊形CDBF=SBCD+SCEF+SBEF= BDOC+ EFCM+ EFBN,構(gòu)建二次函數(shù),利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題.
【考點精析】掌握二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的根本,需要知道二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點:1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點;增減性:當a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減小;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減。

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