【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)的圖象的頂點為D點,與y軸交于C點,與x軸交于A、B兩點, A點在原點的左側(cè),B點的坐標(biāo)為(3,0),OB=OC ,tan∠ACO=

(1)求這個二次函數(shù)的表達(dá)式;

(2)經(jīng)過C、D兩點的直線,與x軸交于點E,在該拋物線上是否存在這樣的點F,使以點A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形?若存在,請求出點F的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;

(3)若平行于x軸的直線與該拋物線交于M、N兩點,且以MN為直徑的圓與x軸相切,求該圓半徑的長度;

(4)如圖2,若點G(2,y)是該拋物線上一點,點P是直線AG下方的拋物線上一動點,當(dāng)點P運動到什么位置時,△APG的面積最大?求出此時P點的坐標(biāo)和△APG的最大面積.

【答案】(1)(2)在,F(xiàn)點的坐標(biāo)為(2,-3)(3)(4),

【解析】解:(1)方法一:由已知得:C(0,-3),A(-1,0)

將A、B、C三點的坐標(biāo)代入得 ………………… 2分

解得:

所以這個二次函數(shù)的表達(dá)式為: ………………… 3分

方法二:由已知得:C(0,-3),A(-1,0)

設(shè)該表達(dá)式為: ………………… 2分

將C點的坐標(biāo)代入得:

所以這個二次函數(shù)的表達(dá)式為: …………………3分

(注:表達(dá)式的最終結(jié)果用三種形式中的任一種都不扣分)

(2)方法一:存在,F(xiàn)點的坐標(biāo)為(2,-3)

理由:易得D(1,-4),所以直線CD的解析式為:

E點的坐標(biāo)為(-3,0)

由A、C、E、F四點的坐標(biāo)得:AE=CF=2,AECF

以A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形

在點F,坐標(biāo)為(2,-3) ………………… 6分

方法二:易得D(1,-4),所以直線CD的解析式為:

E點的坐標(biāo)為(-3,0)

A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形

∴F點的坐標(biāo)為(2,-3)或(―2,―3)或(-4,3)

代入拋物線的表達(dá)式檢驗,只有(2,-3)符合

存在點F,坐標(biāo)為(2,-3) ………………… 6分

(3)如圖,當(dāng)直線MN在x軸上方時,設(shè)圓的半徑為R(R>0),則N(R+1,R),

代入拋物線的表達(dá)式,解得 …………………8分

當(dāng)直線MN在x下方時,設(shè)圓的半徑為r(r>0),

則N(r+1,-r)

代入拋物線的表達(dá)式,解得 ………………… 9分

圓的半徑為

(4)過點P作y軸的平行線與AG交于點Q,

易得G(2,-3),直線AG為

設(shè)P(x,),則Q(x,-x-1),PQ

當(dāng)時,APG的面積最大

時P點的坐標(biāo)為,………………… 12分

(1)根據(jù)已知條件,易求得C、A的坐標(biāo),可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式;

(2)根據(jù)以點A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形,由平行四邊形的性質(zhì)以及二次函數(shù)的性質(zhì)得出AE=CF,AECF即可得出答案.

(3)分兩種情況進(jìn)行討論:當(dāng)直線MN在x軸上方時;當(dāng)直線MN在x下方時,設(shè)圓的半徑,代入拋物線求解

(4)易求得AC的長,由于AC長為定值,當(dāng)P到直線AG的距離最大時,APG的面積最大.可過P作y軸的平行線,交AG于Q;設(shè)出P點坐標(biāo),根據(jù)直線AG的解析式可求出Q點坐標(biāo),也就求出PQ的長,進(jìn)而可得出關(guān)于APG的面積與P點坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可求出APG的最大面積及P點的坐標(biāo),根據(jù)此時APG的面積和AG的長,即可求出P到直線AC的最大距離.

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