【題目】如圖,點(diǎn)O是線段AB上的一點(diǎn),OA=OC,OD平分∠AOC交AC于點(diǎn)D,OF平分∠COB,CF⊥OF于點(diǎn)F.
(1)求證:四邊形CDOF是矩形;
(2)當(dāng)∠AOC多少度時(shí),四邊形CDOF是正方形?并說(shuō)明理由.
【答案】(1)證明見解析(2)當(dāng)∠AOC=90°時(shí),四邊形CDOF是正方形,理由見解析
【解析】(1)證明:∵OD平分∠AOC,OF平分∠COB(已知),
∴∠AOC=2∠COD,∠COB=2∠COF。
∵∠AOC+∠BOC=180°,∴2∠COD+2∠COF=180°。∴∠COD+∠COF=90°。
∴∠DOF=90°。
∵OA=OC,OD平分∠AOC(已知)。
∴OD⊥AC,AD=DC(等腰三角形的“三合一”的性質(zhì))。∴∠CDO=90°。
∵CF⊥OF,∴∠CFO=90°。
∴四邊形CDOF是矩形。
(2)解:當(dāng)∠AOC=90°時(shí),四邊形CDOF是正方形。理由如下:
∵∠AOC=90°,AD=DC,∴OD=DC。
又由(1)知四邊形CDOF是矩形,則四邊形CDOF是正方形。
因此,當(dāng)∠AOC=90°時(shí),四邊形CDOF是正方形。
(1)利用角平分線的性質(zhì)、平角的定義可以求得∠DOF=90°;由等腰三角形的“三合一”的性質(zhì)可推知OD⊥AC,即∠CDO=90°;根據(jù)已知條件“CF⊥OF”知∠CFO=90°;則三個(gè)角都是直角的四邊形是矩形。
(2)當(dāng)∠AOC=90°時(shí),四邊形CDOF是正方形;因?yàn)?/span>Rt△AOC的斜邊上的中線OD等于斜邊的一半,所以矩形的鄰邊OD=CD,所以矩形CDOF是正方形。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小張準(zhǔn)備將平時(shí)的零用錢節(jié)約一些儲(chǔ)存起來(lái).他已存有50元,從現(xiàn)在起每個(gè)月節(jié)存12元.小張的同學(xué)小王以前沒有存過零用錢,聽到小張?jiān)诖媪阌缅X,表示從小張存款當(dāng)月起每個(gè)月存18元,爭(zhēng)取超過小張.請(qǐng)你寫出小張和小王存款和月份之間的函數(shù)關(guān)系,并計(jì)算半年以后小王的存款是多少,能否超過小張?至少幾個(gè)月后小王的存款能超過小張?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為D點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn),與x軸交于A、B兩點(diǎn), A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè),B點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0),OB=OC ,tan∠ACO=.
(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)經(jīng)過C、D兩點(diǎn)的直線,與x軸交于點(diǎn)E,在該拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)F,使以點(diǎn)A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)若平行于x軸的直線與該拋物線交于M、N兩點(diǎn),且以MN為直徑的圓與x軸相切,求該圓半徑的長(zhǎng)度;
(4)如圖2,若點(diǎn)G(2,y)是該拋物線上一點(diǎn),點(diǎn)P是直線AG下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),△APG的面積最大?求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和△APG的最大面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,O為原點(diǎn),點(diǎn)B在x軸的正半軸上,D(0,8),將矩形OBCD折疊,使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的P點(diǎn)處.
(1)如圖①,已知折痕與邊BC交于點(diǎn)A,若OD=2CP,求點(diǎn)A的坐標(biāo).
(2)若圖①中的點(diǎn) P 恰好是CD邊的中點(diǎn),求∠AOB的度數(shù).
(3)如圖②,在(I)的條件下,擦去折痕AO,線段AP,連接BP,動(dòng)點(diǎn)M在線段OP上(點(diǎn)M與P,O不重合),動(dòng)點(diǎn)N在線段OB的延長(zhǎng)線上,且BN=PM,連接MN交PB于點(diǎn)F,作ME⊥BP于點(diǎn)E,試問當(dāng)點(diǎn)M,N在移動(dòng)過程中,線段EF的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化?若變化,說(shuō)明理由;若不變,求出線段EF的長(zhǎng)度(直接寫出結(jié)果即可).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小強(qiáng)的錢包內(nèi)有10元錢、20元錢和50元錢的紙幣各1張.
(1)若從中隨機(jī)取出1張紙幣,求取出紙幣的金額是20元的概率;
(2)若從中隨機(jī)取出2張紙幣,求取出紙幣的總額可購(gòu)買一件51元的商品的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,過點(diǎn)C的直線MN∥AB,D為AB邊上一點(diǎn),過點(diǎn)D作DE⊥BC,交直線MN于E,垂足為F,連接CD,BE.
(1)求證:CE=AD;
(2)當(dāng)D為AB中點(diǎn)時(shí),四邊形BECD是什么特殊四邊形?說(shuō)明你的理由;
(3)若D為AB中點(diǎn),則當(dāng)∠A的大小滿足什么條件時(shí),四邊形BECD是正方形?請(qǐng)說(shuō)明你的理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列說(shuō)法正確的是( )
A. 同位角相等B. 相等的角是對(duì)頂角
C. 垂線段最短D. 兩直線平行,同旁內(nèi)角相等
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