Question

12．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知二次函數(shù)y=-$\frac{1}{4}{x}^{2}+mx+n$的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，0）和點(diǎn)B（1，$\frac{3}{4}$），直線l經(jīng)過(guò)拋物線的頂點(diǎn)且與y軸垂直，垂足為Q．
（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）設(shè)拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B處出發(fā)沿拋物線向下運(yùn)動(dòng)，其縱坐標(biāo)y₁隨時(shí)間t（t≤0）的變化規(guī)律為y₁=$\frac{3}{4}$-2t．設(shè)點(diǎn)C是線段OP的中點(diǎn)，作DC⊥l于點(diǎn)D．
①點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，$\frac{CD}{OP}$是否為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由；
②若在點(diǎn)P開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，直線l也向下平行移動(dòng)，且垂足Q的縱坐標(biāo)y₂隨時(shí)間t的變化規(guī)律為y₂=1-3t，以O(shè)P為直徑作⊙C，l與⊙C的交點(diǎn)為E、F，若EF=$\sqrt{3}$，求t的值．

Answer 1

分析 （1）把A、B代入解析式求出m、n即可解決問(wèn)題．
（2）用t的代數(shù)式表示線段CD、OP，然后求出比值即可．
（3）根據(jù)弦心距、半徑、弦長(zhǎng)的一半之間的關(guān)系列出方程即可解決．

解答 解：（1）由題意得$\left\{\begin{array}{l}{-1+2m+n=0}\\{-\frac{1}{4}+m+n=\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=0}\\{n=1}\end{array}\right.$．
故二次函數(shù)解析式為y=-$\frac{1}{4}$x²+1．
（2）①$\frac{CD}{OP}$=$\frac{1}{2}$，理由如下，
將P點(diǎn)縱坐標(biāo)代入（1）的解析式，得：$\frac{3}{4}$-2t═-$\frac{1}{4}$x²+1，x=$\sqrt{8t+1}$，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)（$\sqrt{8t+1}$，$\frac{3}{4}-2t$），
∴OP中點(diǎn)C的坐標(biāo)（$\frac{\sqrt{8t+1}}{2}$，$\frac{3}{8}-t$），
∴CD=1-（$\frac{3}{8}-t$）=$\frac{5}{8}+t$，OP=$\sqrt{8t+1+（\frac{3}{4}-2t）^{2}}$=2t+$\frac{5}{4}$，
∴OP=2CD
∴$\frac{CD}{OP}$=$\frac{1}{2}$．
②∵圓心到直線l的距離d=|$\frac{3}{8}-t$-（1-3t）|=|2t-$\frac{5}{8}$|，半徑r=$\frac{1}{2}$OP=t+$\frac{5}{8}$，EF=$\sqrt{3}$，
又∵（$\frac{EF}{2}$）²+d²=r²，
∴$\frac{3}{4}$+（2t-$\frac{5}{8}$）²=（t+$\frac{5}{8}$）²，
解得t=1或$\frac{1}{4}$，
∴t=1或$\frac{1}{4}$時(shí)，以O(shè)P為直徑作⊙C，l與⊙C的交點(diǎn)為E、F，EF=$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、圓的有關(guān)知識(shí)，解題的關(guān)鍵是用t的代數(shù)式表示相應(yīng)的線段，學(xué)會(huì)利用方程的思想去思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．