Question

4．△ABC中，D是BC上的點(diǎn)，AD平分∠BAC，BD=2DC，若∠BAC=60°，求∠B．

Answer 1

分析 根據(jù)角平分線的軸對(duì)稱性，在AB上堆取AE=AC，即可得到△AED≌△ACD，從而DE=DC，∠ADE=∠ADC，再作EF∥AD交BD于F，由平行線的性質(zhì)可推出F為BD中點(diǎn)，從而E為AB中點(diǎn)．由于∠BAC=60°，則三角形AEC是等邊三角形，于是BE=EC，然后∠B的度數(shù)一目了然．

解答 解：在AB上堆取AE=AC，連接DE、EC，如圖，

易得△AED≌△ACD，
∴DE=DC，∠ADE=∠ADC，
作EF∥AD交BC于F，
∴∠EFD=∠ADC，∠FED=∠ADE，
∴∠DFE=∠DEF，
即DF=DE=DC，
∵BD=2DC，
∴BF=FD，
∵EF∥AD，BF=FD，
∴BE=AE，
∵∠BAC=60°
∴△AEC是等邊三角形，
∴BE=EC，
∴∠B=∠ECB，
∵∠B+∠ECB=∠AEC=60°，
∴2∠B=60°，
∴∠B=30°．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，題雖小，難度卻較大．根據(jù)角平分線在角兩邊截取線段相等，進(jìn)而構(gòu)造全等三角形，是常用輔助線，要熟練掌握．