Question

【題目】如圖,在半⊙中,是直徑,點(diǎn)是⊙上一點(diǎn),點(diǎn)是的中點(diǎn),于點(diǎn)，過點(diǎn)的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),連接,分別交于點(diǎn),連接,關(guān)于下列結(jié)論:①;②;③點(diǎn)是的外心;④,其中結(jié)論正確的是____．

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

逐一進(jìn)行判斷，在半⊙中,是直徑,得出∠ACB=90°，OA=OC=OD=OB, ∠CAO=∠ACO，∠OCB=∠CBO，∠DOA=∠ADO，∠AOC=∠COD=∠BOD，再由垂徑定理判定OC⊥AD，又由對(duì)頂角相等，得出DQ∥AC，進(jìn)而得出OD⊥BC，得出，①正確；又因?yàn)?/span>，即∠DAB+∠APE=90°∠APE和∠GPD是對(duì)頂角，得出∠GDA=∠GPD，進(jìn)而得出，②結(jié)論正確；在RtAPE中，OC⊥AD，∠APE和∠CPQ是對(duì)頂角，可知∠PAE=∠OCE，∠PAC=∠ACP，進(jìn)而得出AP=CP，又根據(jù)∠BCO+∠CQA=∠CBO+∠BCE=90°，∠BCO=∠CBO，得出∠CQA=∠BCE，得出PC=PQ，判定AP=PQ=CP，從而得出點(diǎn)是的外心，③結(jié)論正確；由∠BCE=∠CAB，∠PAC=∠ABC，判定Rt△ACQ和Rt△ABC相似，根據(jù)其性質(zhì)，即可得出，④結(jié)論正確.

解：連接OC、OD，如圖所示，

∵在半⊙中,是直徑,點(diǎn)是⊙上一點(diǎn),點(diǎn)是的中點(diǎn),

∴∠ACB=90°，OA=OC=OD=OB,

∴∠CAO=∠ACO，∠OCB=∠CBO，∠DOA=∠ADO，∠AOC=∠COD=∠BOD

∵在半⊙中,AD和BC為弦，

∴OC⊥AD，

又∵∠CAQ+∠CQA=∠ADO+∠DQB，

∠CQA=∠DQB（對(duì)頂角相等）

∴∠CAD=∠ADO

∴DQ∥AC，

∴OD⊥BC

∴∠ABC=∠ADO=∠DAB，①結(jié)論正確；

又∵，即∠DAB+∠APE=90°

∠APE和∠GPD是對(duì)頂角

∴∠GDA=∠GPD

∴，②結(jié)論正確；

在RtAPE中，OC⊥AD，∠APE和∠CPQ是對(duì)頂角，

∴∠PAE=∠OCE

∴∠PAC=∠ACP

∴AP=CP

又∵∠BCO+∠CQA=∠CBO+∠BCE=90°

∠BCO=∠CBO

∴∠CQA=∠BCE

∴PC=PQ

∴AP=PQ=CP

∴點(diǎn)是的外心，③結(jié)論正確；

又∵∠ACE+∠BCE=∠ACE+∠CAB=∠CAQ+∠CQA

∠PAC=∠ACP

∴∠BCE=∠CAB，∠PAC=∠ABC

∴Rt△ACQ∽R(shí)t△ACB

∴

即，④結(jié)論正確.

故答案是①②③④.