Question

【題目】將拋物線向左平移2個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位得到一個(gè)新的拋物線．

（1）求新的拋物線的解析式．

（2）過作直線，使得直線與新的拋物線僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線的解析式及相應(yīng)公共點(diǎn)的坐標(biāo)．

（3）請猜想在新的拋物線上是否有且僅有四個(gè)點(diǎn)、、、使得、、、分別與（2）中的所有公共點(diǎn)所圍成的圖形的面積均為S？若有，請求出S并直接寫出、、、的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）l的解析式為：y=x+2；y=3x-6，x=2；直線y=-x+2與拋物線有唯一公共點(diǎn)A（-2,4）直線y=3x-6與拋物線有唯一公共點(diǎn)B（6,12）直線x=2 與拋物線有唯一公共點(diǎn)C(2，4) ；（3）S=18,P1為（0,3），P2為（4,7），P3為（,），P4為（,）.

【解析】

（1）根據(jù)二次函數(shù)平移的特點(diǎn)即可求解；

（2）設(shè)直線l的解析式為：y=kx+b,把M代入，再與二次函數(shù)聯(lián)立，根據(jù)一元二次方程根的判別式即可求解；

（3）由AB、BC、AC將拋物線分為三個(gè)部分，對于任意S在AB上方的拋物線上必存在兩個(gè)P點(diǎn)，①當(dāng)P在AC下方的拋物線上時(shí)，求出此時(shí)=2，,②當(dāng)P在BC下方的拋物線上時(shí)，設(shè)P為 ，D為（t，2t），得到，利用求出S的最大值也為2，故當(dāng)P點(diǎn)在直線AB上方時(shí)，與A,C圍成的面積也為2，故可得到P到AC的距離為1，根據(jù)直線AB的解析式特點(diǎn)可知將

直線AB向上平移個(gè)單位即可滿足要求，得到平移后的解析式，再聯(lián)立拋物線即可出P3,P4的坐標(biāo).

解：（1）∵

∴把函數(shù)向左平移2個(gè)單位，向上平移4個(gè)單位后拋物線的頂點(diǎn)為（0,3），

∴新的拋物線的解析式為，

（2）解： 設(shè)直線l的解析式為：y=kx+b,將M（2,0）代入得

∴

∴直線l為

又直線與新的拋物線僅有一個(gè)公共點(diǎn)，

∴只有一個(gè)解，

化簡得

∴

解得：，

當(dāng)時(shí)，直線l為

由解得

∴A（-2，4）

當(dāng)時(shí)，直線l為

由解得

∴B（6，12）

過點(diǎn)M（2,0）作直線l⊥x軸，交拋物線于C點(diǎn)，則直線l為x=2,

公共點(diǎn)C為（2,4），

綜上所述：直線y=-x+2與拋物線有唯一公共點(diǎn)A（-2,4）

直線y=3x-6與拋物線有唯一公共點(diǎn)B（6,12）

直線x=2 與拋物線有唯一公共點(diǎn)C(2，4)

（3）在新的拋物線上有且僅有四個(gè)點(diǎn)P1、P2、P3、P4使其分別與（2）中的所有公共點(diǎn)A、B、C所圍成的四邊形面積均為S.

∵AB、BC、AC將拋物線分為三個(gè)部分，對于任意S在AB上方的拋物線上必存在兩個(gè)P點(diǎn).

①當(dāng)P在AC下方的拋物線上時(shí)

∵AC∥x軸，

∴當(dāng)P為（0,3），

②當(dāng)P在BC下方的拋物線上時(shí)

設(shè)P為由待定系數(shù)法得BC:y=2x

作PD//y軸交BC于D，則D為（t，2t）

∴

∴

∵它是一個(gè)開口向下，頂點(diǎn)為（4，2）的拋物線

∴當(dāng)P為（4，7）時(shí)，

∴

∴

此時(shí)

∵A（-2,4），B（6,12）

∴求得AB解析式為，

∵A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差的絕對值為8，A、C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差的絕對值為4，P到AC的距離為1.

∴將直線AB向上平移個(gè)單位得

l交拋物線于和兩點(diǎn)

由，解得，

綜上，S=18,P1為（0,3），P2為（4,7），P3為（,），P4為（,）.