Question

6．在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC交AD于E，交AC于G，GF⊥BC于F，連接EF．
（1）如圖1，求證：四邊形AEFG是菱形；
（2）如圖2，若E為BG的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作EM∥BC交AC于M，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖2中是CM長$\sqrt{3}$倍的所有線段．

Answer 1

分析 （1）先證明四邊形AEFG是平行四邊形，再證明AE=AG即可．
（2）先證明AB=$\sqrt{3}$AG，再分別證明AB=BF=CF=EM，CM=AG即可．

解答 （1）證明：∵AD⊥BC，GF⊥BC，
∴∠ADF=∠GFC=90°，
∴AE∥GF，
在△ABG和△FBG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAG=∠BFG}\\{∠ABG=∠FBG}\\{BG=BG}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△FBG，
∴AG=FG，
∵∠FBG+∠BED=90°，
∵∠BED=∠AEG，
∴∠FBG+∠AEG=90°，
∵∠ABG+∠AGE=90°，
∵∠ABG=∠FBG，
∴∠AEG=∠AGE，
∴AE=AG，
∴AE=FG，
∴四邊形AEFG是平行四邊形，
∵AE=AG∴四邊形AEFG是菱形．
（2）解：∵四邊形AEFG是菱形，
∴AE=AG，
∵BE=EG，∠BAG=90°，
∴AE=BE=EG，
∴△AEG是等邊三角形，
∴∠AGE=60°，
在RT△ABG中，∵∠ABG=30°，
∴AB=$\sqrt{3}$AG，
∵∠C=30°，∴BC=2AB，
∴BE=GE，EF∥AC，EM∥BC，
∴BF=FC，CM=GM，
在RT△AEM中，∵∠AME=∠C=30°，∠GEM+∠GME=60°，
∴∠GEM=∠GME=30°，
∴EG=AG=GM=CM，
∵EM∥FC，EF∥CM，
∴四邊形EFCM是平行四邊形，
∴AB=BF=CF=EM=$\sqrt{3}$CM，
∴是CM長$\sqrt{3}$倍的所有線段有AB、BF、CF、EM．

點(diǎn)評(píng) 本題考查菱形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、直角三角形30度角的性質(zhì)等知識(shí)，尋找全等三角形是解題的關(guān)鍵，必須熟練掌握特殊三角形邊角關(guān)系，屬于中考常考題型．