Question

【題目】如圖，一次函數y＝x﹣2的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B，點D的坐標為（﹣1，0），二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經過A，B，D三點．

（1）求二次函數的解析式；

（2）如圖1，已知點G（1，m）在拋物線上，作射線AG，點H為線段AB上一點，過點H作HE⊥y軸于點E，過點H作HF⊥AG于點F，過點H作HM∥y軸交AG于點P，交拋物線于點M，當HEHF的值最大時，求HM的長；

（3）在（2）的條件下，連接BM，若點N為拋物線上一點，且滿足∠BMN＝∠BAO，求點N的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x﹣2；（2）2；（3）(1，﹣3)或(﹣，)

【解析】

（1）二次函數經過D（﹣1，0），B（4，0），可以假設二次函數的解析式為y＝a（x+1）（x﹣4），把A（0，﹣2）代入得到a＝即可解決問題．

（2）如圖1中，設H（x0，x0﹣2），且（0≤x0≤4），構建二次函數，利用二次函數的性質即可解決問題．

（3）如圖2中，過點B作BT⊥MN于T．由題意BM＝，BT＝1，MT＝2，設T（m，n），利用兩點間距離公式構建方程組求出m，n，再求出直線MN的解析式，構建方程組確定解得N的坐標即可．

解：（1）在y＝x﹣2中，當x＝0時，y＝﹣2，當y＝0時，x＝4，

∴A（4，0），B（0，﹣2），

∵二次函數經過D（﹣1，0），B（4，0），

∴可以假設二次函數的解析式為y＝a（x+1）（x﹣4），

把A（0，﹣2）代入得到a＝，

∴二次函數的解析式為y＝x2﹣x﹣2．

（2）如圖1中，設H（x0，x0﹣2），且（0≤x0≤4），

∵HE⊥y軸于E，

∴HE＝x0，

∵G（1，m）在拋物線上，

∴G（1，﹣3），

∵A（4，0），

∴直線AG的解析式為y＝x﹣4，

∵HM∥y軸交AG于P，

∴P（x0，x0﹣4），則PH＝（x0﹣2）﹣（x0﹣4）＝﹣x0+2，

由直線AG都是解析式y＝x﹣4，HM∥y軸交AG于P，可得∠HPF＝45°，

∵HF⊥AG于F，

∴HF＝（﹣x0+2），

∴HEHF＝（﹣x0+2）x0＝﹣x02+x0＝﹣（x0﹣2）2+，

∵﹣＜0，0≤x0≤4，

∴當x0＝2時，HEHF的值最大，此時H（2，﹣1），M（2，﹣3），

∴HM＝﹣1﹣（﹣3）＝2．

（3）如圖2中，過點B作BT⊥MN于T．

∵∠BMN＝∠BAO，

∴tan∠BMN＝tan∠BAO＝＝，

∴＝，

又∵B（0，﹣2），M（2，﹣3），可得BM＝，BT＝1，MT＝2，

設T（m，n），則解得或，

∴T（0，﹣3）或（，﹣），

∵M（2，﹣3），

∴直線MN的解析式為y＝﹣3或y＝﹣x﹣，

聯立得或，

分別解方程組可得或或或，舍棄第二，第四組解，

∴滿足條件的點N的坐標為（1，﹣3）或（﹣，）．