Question

【題目】如圖，已知關(guān)于x的二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的圖象與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，且OB＝OC＝3，頂點(diǎn)為M．

（1）求出二次函數(shù)的關(guān)系式；

（2）點(diǎn)P為線段MB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線PD，垂足為D．若OD＝m，△PCD的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并寫出m的取值范圍；

（3）探索線段MB上是否存在點(diǎn)P，使得△PCD為直角三角形？如果存在，求出P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，（，3），（3﹣3，12﹣6）

【解析】

（1）根據(jù)題意得出點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)，將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入即可得出函數(shù)解析式；

（2）根據(jù)（1）中函數(shù)解析式得出點(diǎn)M的坐標(biāo)，根據(jù)OD＝m設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，從而得出PD的長(zhǎng)度，再根據(jù)得出S關(guān)于m的函數(shù)解析式；再根據(jù)點(diǎn)P在線段MB上得出m的取值范圍；

（3）分別討論∠PDC、∠DPC和∠DCP分別是直角的的情況是否存在，如果存在，根據(jù)實(shí)際情況，利用數(shù)形結(jié)合的思想得出點(diǎn)P的坐標(biāo).

解：（1）∵OB＝OC＝3，

∴B（3，0），C（0，3）

∴，

解得

∴二次函數(shù)的解析式為；

（2）由（1）可得函數(shù)解析式為：，

∴M（1，4）

設(shè)直線MB的解析式為y＝kx+n，將點(diǎn)M（1，4），點(diǎn)B（3，0）代入可得：

則有，

解得：，

∴直線MB的解析式為；

∵PD⊥x軸，OD＝m，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，）

∴；

又∵點(diǎn)P為線段MB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)D重合，PCD不能構(gòu)成三角形，

∴；

∴；

（3）∵若∠PDC是直角，則點(diǎn)C在x軸上，由函數(shù)圖象可知點(diǎn)C在y軸的正半軸上，

∴∠PDC≠90°，

如圖，在△PCD中，當(dāng)∠DPC＝90°時(shí)，

當(dāng)CPAB時(shí)，

∵PD⊥AB，

∴CP⊥PD，

∴PD＝OC＝3，

∴P點(diǎn)縱坐標(biāo)為：3，代入，

得：，此時(shí)．

∴線段BM上存在點(diǎn)使△PCD為直角三角形．

如圖，當(dāng)時(shí)，△COD′∽△D′CP′，

此時(shí)CD′2＝COP′D′，

即，

∴

解得：，

∵，

∴，

∴P′

綜上所述：P點(diǎn)坐標(biāo)為：（，3），．