Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，且AC⊥BD，OF⊥AB，垂足分別為E、F，請(qǐng)問(wèn)OF與CD有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

Answer 1

【答案】OF=CD．理由見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：連接AO并延長(zhǎng)，與⊙O相交于點(diǎn)G，連接BG，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等可得∠G=∠ADB，再根據(jù)等角的余角相等求出∠DAE=∠BAG，然后根據(jù)相等的圓周角所對(duì)的弦相等可得CD=BG，根據(jù)垂徑定理可得AF=BF，從而得到OF是△ABG的中位線，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得OF=BG．

試題解析：OF=CD．
理由如下：如圖，連接AO并延長(zhǎng)，與⊙O相交于點(diǎn)G，連接BG，
則∠G=∠ADB，
∵AC⊥BD，
∴∠DAE+∠ADB=90°，
∵AG是直徑，
∴∠BAG+∠G=90°，
∴∠DAE=∠BAG，
∴CD=BG，
∵OF⊥AB，
∴AF=BF，
∴OF是△ABG的中位線，
∴OF=BG，
故OF=CD．