Question

【題目】在△ABC中，AB=BC，∠B=90°，點(diǎn)D為直線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），連結(jié)AD，將線段AD繞點(diǎn)D按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°，使點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)E，連結(jié)EC．

（1）如果點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)，如圖1：
①依題意補(bǔ)全圖1；
②求證：∠BAD=∠EDC；
③通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)，小明得出結(jié)論：在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，總有∠DCE=135°，．
小明與同學(xué)討論后，形成了證明這個(gè)結(jié)論的幾種想法：
想法一：在AB上取一點(diǎn)F，使得BF=BD，要證∠DCE=135°，只需證△ADF≌△DEC．
想法二：以點(diǎn)D為圓心，DC為半徑畫(huà)弧交AC于點(diǎn)F，要證∠DCE=135°，只需證△AFD≌△DCE．
想法三：過(guò)點(diǎn)E作BC所在直線的垂直線段EF，要證∠DCE=135°，只需證EF=CF．
…
請(qǐng)你參考上面的想法，證明∠DCE=135°
（2）如果點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，利用圖2畫(huà)圖分析，∠DCE的度數(shù)還是確定的值嗎？如果是，直接寫(xiě)出∠DCE的度數(shù)；如果不是，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①如圖①所示；

②證明：∵∠B=90°，

∴∠BAD+∠BDA=90°，

∵∠ADE=90°，點(diǎn)D在線段BC上，

∴∠BAD+∠EDC=90°，

∴∠BAD=∠EDC；

②證法1：如圖1，在AB上取點(diǎn)F，使得BF=BD，連接DF，

∵BF=BD，∠B=90°，

∴∠BFD=45°，

∴∠AFD=135°，

∵BA=BC，

∴AF=CD，

在△ADF和△DEC中，

，

∴△ADF≌△DEC，

∴∠DCE=∠AFD=135°；

證法2：以D為圓心，DC為半徑作弧交AC于點(diǎn)F，連接DF，

∴DC=DF，∠DFC=∠DCF，

∵∠B=90°，AB=BC，

∴∠ACB=45°，∠DFC=45°，

∴∠DFC=90°，∠AFD=135°，

∵∠ADE=∠FDC=90°，

∴∠ADF=∠EDC，

在△ADF≌△CDE中， ，

∴△ADF≌△CDE，

∴∠AFD=∠DCE=135°；

證法3：過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，

∴∠EFD=90°，

∵∠B=90°，

∴∠EFD=∠B，

在△ABD和△DFE中， ，

∴△ABD≌△DFE，

∴AB=DF，BD=EF，

∵AB=BC，

∴BC=DF，BC﹣DC=DF﹣DC，

即BD=CF，

∴EF=CF，

∵∠EFC=90°，

∴∠ECF=45°，∠DCE=135°；

（2）

解：解：∠DCE=45°，

理由：過(guò)E作EF⊥DC于F，

∵∠ABD=90°，

∴∠EDF=∠DAB=90°﹣∠ADB，

在△ABD和△DFE中， ，

∴△ABD≌△DFE，

∴DB=EF，AB=DF=BC，

∴BC﹣BF=DF﹣BF，

即FC=DB，

∴FC=EF，

∴∠DCE=45°．

【解析】（1）①根據(jù)題意作出圖形即可；②根據(jù)余角的性質(zhì)得到結(jié)論；③證法1：如圖1，在AB上取點(diǎn)F，使得BF=BD，連接DF，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠BFD=45°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠DCE=∠AFD=135°；證法2：以D為圓心，DC為半徑作弧交AC于點(diǎn)F，連接DF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；證法3：過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）過(guò)E作EF⊥DC于F，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DB=EF，AB=DF=BC，根據(jù)線段的和差得到FC=EF，于是得到結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】利用全等三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等; 全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；①旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的線段長(zhǎng)短不變，旋轉(zhuǎn)角度大小不變；②旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離不變；③旋轉(zhuǎn)后物體或圖形不變，只是位置變了．