【題目】在△ABC中,AB=BC,∠B=90°,點D為直線BC上的一個動點(不與B、C重合),連結(jié)AD,將線段AD繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°,使點A旋轉(zhuǎn)到點E,連結(jié)EC.

(1)如果點D在線段BC上運動,如圖1:
①依題意補全圖1;
②求證:∠BAD=∠EDC;
③通過觀察、實驗,小明得出結(jié)論:在點D運動的過程中,總有∠DCE=135°,.
小明與同學(xué)討論后,形成了證明這個結(jié)論的幾種想法:
想法一:在AB上取一點F,使得BF=BD,要證∠DCE=135°,只需證△ADF≌△DEC.
想法二:以點D為圓心,DC為半徑畫弧交AC于點F,要證∠DCE=135°,只需證△AFD≌△DCE.
想法三:過點E作BC所在直線的垂直線段EF,要證∠DCE=135°,只需證EF=CF.

請你參考上面的想法,證明∠DCE=135°
(2)如果點D在線段CB的延長線上運動,利用圖2畫圖分析,∠DCE的度數(shù)還是確定的值嗎?如果是,直接寫出∠DCE的度數(shù);如果不是,說明理由.

【答案】
(1)

解:①如圖①所示;

②證明:∵∠B=90°,

∴∠BAD+∠BDA=90°,

∵∠ADE=90°,點D在線段BC上,

∴∠BAD+∠EDC=90°,

∴∠BAD=∠EDC;

②證法1:如圖1,在AB上取點F,使得BF=BD,連接DF,

∵BF=BD,∠B=90°,

∴∠BFD=45°,

∴∠AFD=135°,

∵BA=BC,

∴AF=CD,

在△ADF和△DEC中,

,

∴△ADF≌△DEC,

∴∠DCE=∠AFD=135°;

證法2:以D為圓心,DC為半徑作弧交AC于點F,連接DF,

∴DC=DF,∠DFC=∠DCF,

∵∠B=90°,AB=BC,

∴∠ACB=45°,∠DFC=45°,

∴∠DFC=90°,∠AFD=135°,

∵∠ADE=∠FDC=90°,

∴∠ADF=∠EDC,

在△ADF≌△CDE中, ,

∴△ADF≌△CDE,

∴∠AFD=∠DCE=135°;

證法3:過點E作EF⊥BC交BC的延長線于點F,

∴∠EFD=90°,

∵∠B=90°,

∴∠EFD=∠B,

在△ABD和△DFE中, ,

∴△ABD≌△DFE,

∴AB=DF,BD=EF,

∵AB=BC,

∴BC=DF,BC﹣DC=DF﹣DC,

即BD=CF,

∴EF=CF,

∵∠EFC=90°,

∴∠ECF=45°,∠DCE=135°;


(2)

解:解:∠DCE=45°,

理由:過E作EF⊥DC于F,

∵∠ABD=90°,

∴∠EDF=∠DAB=90°﹣∠ADB,

在△ABD和△DFE中,

∴△ABD≌△DFE,

∴DB=EF,AB=DF=BC,

∴BC﹣BF=DF﹣BF,

即FC=DB,

∴FC=EF,

∴∠DCE=45°.


【解析】(1)①根據(jù)題意作出圖形即可;②根據(jù)余角的性質(zhì)得到結(jié)論;③證法1:如圖1,在AB上取點F,使得BF=BD,連接DF,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠BFD=45°,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠DCE=∠AFD=135°;證法2:以D為圓心,DC為半徑作弧交AC于點F,連接DF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論;證法3:過點E作EF⊥BC交BC的延長線于點F,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論;(2)過E作EF⊥DC于F,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DB=EF,AB=DF=BC,根據(jù)線段的和差得到FC=EF,于是得到結(jié)論.
【考點精析】利用全等三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知全等三角形的對應(yīng)邊相等; 全等三角形的對應(yīng)角相等;①旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的線段長短不變,旋轉(zhuǎn)角度大小不變;②旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的點到旋轉(zhuǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離不變;③旋轉(zhuǎn)后物體或圖形不變,只是位置變了.

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2016年,發(fā)展路徑不斷完善,房山區(qū)全年地區(qū)生產(chǎn)總值完成595億元,固定資產(chǎn)投資完成535億元,超額實現(xiàn)預(yù)期目標,區(qū)域稅收比上一年增長4.94億元,城鄉(xiāng)居民可支配收入分別增長8.%和8.8%.
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