【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線y=﹣x+3x軸、y軸分別交于點B、C;拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過B、C兩點,并與x軸交于另一點A

1)求該拋物線所對應的函數(shù)關系式;

2)設Px,y)是(1)所得拋物線上的一個動點,過點P作直線l⊥x軸于點M,交直線BC于點N

若點P在第一象限內(nèi).試問:線段PN的長度是否存在最大值?若存在,求出它的最大值及此時x的值;若不存在,請說明理由;

求以BC為底邊的等腰△BPC的面積.

【答案】1)所求函數(shù)關系式為y=﹣x2+2x+3;

2線段PN的長度的最大值為

【解析】

試題(1)利用一次函數(shù)與坐標軸坐標求法,得出B、C兩點的坐標,利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式.

2)利用二次函數(shù)最值求法不難求出,再利用三角形面積之間的關系,可求出等腰△BPC的面積

試題解析:(1)由于直線y=﹣x+3經(jīng)過B、C兩點,

y=0x=3;令x=0,得y=3

∴B30),C0,3),

B、C在拋物線y=﹣x2+bx+c上,于是得,

解得b=2,c=3

所求函數(shù)關系式為y=﹣x2+2x+3

2①∵Pxy)在拋物線y=﹣x2+2x+3上,

PN⊥x軸,

設點P的坐標為(x,﹣x2+2x+3),

同理可設點N的坐標為(x,﹣x+3),

又點P在第一象限,

∴PN=PM﹣NM,

=﹣x2+2x+3﹣x+3),

=﹣x2+3x,

=—,

時,

線段PN的長度的最大值為

解:

由題意知,點P在線段BC的垂直平分線上,

又由知,OB=OC,

∴BC的中垂線同時也是∠BOC的平分線,

設點P的坐標為(a,a),

又點P在拋物線y=﹣x2+2x+3上,于是有a=﹣a2+2a+3,

∴a2﹣a﹣3=0,

解得,

P的坐標為:,

若點P的坐標為,此時點P在第一象限,

Rt△OMPRt△BOC中,MP=OM=,

OB=OC=3,

SBPC=S四邊形BOCP﹣SBOC=2SBOP﹣SBOC

=,

若點P的坐標為,此時點P在第三象限,

SBPC=SBOP+SCOP+SBOC=,

=

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