Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝－x2＋bx＋C的圖象與坐標(biāo)軸交于A、B、C三點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，8)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(－4，0)．

(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，4)，點(diǎn)F為該二次函數(shù)在第一象限內(nèi)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，連接CD、CF，以CD、CF為鄰邊作平行四邊形CDEF，設(shè)平行四邊形CDEF的面積為S.

①求S的最大值；

②在點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)E落在該二次函數(shù)圖象上時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)S的值．

Answer 1

【答案】(1) y＝－x2＋x＋8，C (8，0)；(2) ①50；②18.

【解析】

（1）把A點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo)代入y=-x2+bx+c得到關(guān)于b、c的方程組，然后解方程組求出b、c即可得到拋物線的解析式；然后計(jì)算函數(shù)值為0時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值即可得到C點(diǎn)坐標(biāo)
（2）①連結(jié)DF，OF，如圖，設(shè)F（t，-t2+t+8），利用S四邊形OCFD=S△CDF+S△OCD=S△ODF+S△OCF，利用三角形面積公式得到S△CDF=-t2+6t+16，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)得到△CDF的面積有最大值，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得S的最大值；
②由于四邊形CDEF為平行四邊形，則CD∥EF，CD=EF，利用C點(diǎn)和D的坐標(biāo)特征可判斷點(diǎn)C向左平移8個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位得到點(diǎn)D，則點(diǎn)F向左平移8個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位得到點(diǎn)E，即E（t-8，-t2+t+12），然后把E（t-8，-t2+t+12）代入拋物線解析式得到關(guān)于t的方程，再解方程求出t后計(jì)算△CDF的面積，從而得到S的值．

解：(1)∵二次函數(shù)y＝－x2＋Bx＋C過(guò)A(0，8)、B(－4，0)兩點(diǎn)，

∴ ，解得 ，

∴二次函數(shù)的解析式為y＝－x2＋x＋8，

當(dāng)y＝0時(shí)，解得x1＝－4，x2＝8，

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(8，0)；

（2）①如解圖，連接DF，OF，設(shè)F(M，－M2＋M＋8)，

∵S四邊形OCFD＝S△CDF＋S△OCD＝S△ODF＋S△OCF，

∴S△CDF＝S△ODF＋S△OCF－S△OCD，

＝×4×M＋×8×(－M2＋M＋8)－×8×4

＝2M－M2＋4M＋32－16

＝－M2＋6M＋16

＝－(M－3)2＋25，

當(dāng)M＝3時(shí)，△CDF的面積有最大值，最大值為25，

∵四邊形CDEF為平行四邊形，

∴S四邊形CDEF＝2S△CDF＝50，

∴S的最大值為50；

②S＝18.

∵四邊形CDEF為平行四邊形，

∴CD∥EF，CD＝EF，

∵點(diǎn)C向左平移8個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位得到點(diǎn)D，

∴點(diǎn)F向左平移8個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位得到點(diǎn)E，即E(M－8，－M2＋M＋12)，

∵E(M－8，－M2＋M＋12)在拋物線上，

∴－ (M－8)2＋(M－8)＋8＝－M2＋M＋12，

解得M＝7，

當(dāng)M＝7時(shí)，S△CDF＝－(7－3)2＋25＝9，

∴此時(shí)S＝2S△CDF＝18.