Question

18．在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=1，BD⊥BC，BD=BC，CF平分∠BCD交BD、AD于E、F，則△EDC的面積為（　�。�

• A． 2$\sqrt{2}$-2
• B． 3$\sqrt{2}$-2
• C． 2-$\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{2}$-1

Answer 1

分析 先過點E作EG⊥CD于G，再判定△BCD、△ABD都是等腰直角三角形，并求得其邊長，最后利用角平分線的性質以及勾股定理，求得EG的長，進而計算△EDC的面積．

解答 解：過點E作EG⊥CD于G，
又∵CF平分∠BCD，BD⊥BC，
∴BE=GE，BC=GC，
∵BD⊥BC，BD=BC，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴∠BDC=45°，
∵AB∥CD，
∴∠ABD=45°，
又∵∠A=90°，AB=1，
∴等腰直角三角形ABD中，BD=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$=BC，
∴Rt△BDC中，CD=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=2，
∴DG=DC-GC=2-$\sqrt{2}$，
設BE=GE=x，則DE=$\sqrt{2}$-x，
∵Rt△DEG中，DG²+EG²=DE²，
∴（2-$\sqrt{2}$）²+x²=（$\sqrt{2}$-x）²，
解得x=2-$\sqrt{2}$，
∴△EDC的面積=$\frac{1}{2}$×DC×EG=$\frac{1}{2}$×2×（2-$\sqrt{2}$）=2-$\sqrt{2}$．
故選（C）

點評 本題主要考查了角平分線的性質的運用，解決問題的關鍵是作輔助線，構造直角三角形EDG，并利用勾股定理列出方程求解．