Question

4．已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O交AB于點M，交BC于點N，連接AN，過點C的切線交AB的延長線于點P．
（1）求證：∠BCP=$\frac{1}{2}$∠BAC；
（2）若$\frac{BP}{BC}$=$\frac{3}{4}$，求$\frac{AN}{PC}$的值．

Answer 1

分析 （1）由圓周角定理得出∠ANC=90°，得出∠NAC+∠ACN=90°，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠BAN=∠CAN=$\frac{1}{2}$∠BAC，由切線的性質(zhì)得出∠ACN+∠PCB=90°，即可得出結(jié)論；
（2）由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ABC=∠ACB，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠PBC=∠AMN，證出△BPC∽△MNA，由相似三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵AC為⊙O的直徑，
∴∠ANC=90°，
∴∠NAC+∠ACN=90°，
∵AB=AC，
∴∠BAN=∠CAN=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∵PC是⊙O的切線，
∴∠ACP=90°，
∴∠ACN+∠PCB=90°，
∴∠BCP=∠CAN，
∴∠BCP=$\frac{1}{2}$∠BAC；
（2）解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠PBC+∠ABC=∠AMN+∠ACN=90°，
∴∠PBC=∠AMN，
由（1）知，∠BCP=∠BAN，
∴△BPC∽△MNA，
∴$\frac{PB}{MN}=\frac{BC}{AM}=\frac{PC}{AN}$，
∴$\frac{PB}{BC}=\frac{MN}{AM}$=$\frac{3}{4}$，$\frac{AN}{PC}$=$\frac{AM}{BC}$，
∵AB=AC，AN⊥BC，
∴BN=NC，
又∵∠NMB=∠ACB=∠ABC，
∴BN=MN，
∴$\frac{AM}{BC}$=$\frac{4}{6}$=$\frac{2}{3}$，∴$\frac{AN}{PC}$=$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握切線的性質(zhì)和圓周角定理，證明三角形相似是解決問題（2）的關(guān)鍵．